Probabilités : Union – Intersection – Complémentaire
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On choisit au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
On considère les événements suivants :
- $A$ : « La carte tirée est un as »
- $C$ : « La carte tirée est un cœur »
- Calculer $p\left(A\right)$ et $p\left(C\right)$.
- Décrire à l'aide d'une phrase l'événement $A \cap C$. Calculer $p\left(A \cap C\right)$.
- Décrire à l'aide d'une phrase l'événement $A \cup C$. Calculer $p\left(A \cup C\right)$.
- Calculer la probabilité que la carte choisie ne soit ni un as ni un cœur.
Corrigé
L'expression « au hasard » dans l'énoncé indique que l'on suppose l'équiprobabilité des tirages.
Il y a $4$ as dans un jeu de $32$ cartes donc :$p\left(A\right)=\dfrac{4}{32}=$ $\mathbf{\dfrac{1}{8}}$Il y a $8$ cœurs dans un jeu de $32$ cartes donc :
$p\left(C\right)=\dfrac{8}{32}=$ $\mathbf{\dfrac{1}{4}}$L'événement $A \cap C$ correspond à « la carte choisie est un as et un cœur, c'est-à-dire l'as de cœur ».
Il y a un seul as de cœur dans le jeu donc :$\mathbf{p\left(A \cap C\right)=\dfrac{1}{32}}$L'événement $A \cup C$ correspond à « la carte choisie est un as ou un cœur ».
On applique la formule de l'union :
$p\left(A \cup C\right)=p\left(A\right)+p\left(C\right) - p\left(A \cap C\right)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{32}$
D'où :$\mathbf{p\left(A \cup C\right)=\dfrac{4}{32}+\dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32}=\dfrac{11}{32}}$L'événement « la carte choisie n'est ni un as ni un cœur » est l'événement contraire de $A \cup C$. Sa probabilité est donc :
$\mathbf{p\left(\overline{A \cup C}\right)=1 - p\left(A \cup C\right)=1 - \dfrac{11}{32}=\dfrac{21}{32}}$