Étudier la convexité d’une fonction
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Pour étudier la convexité d'une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : préciser que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et calculer $f^{\prime}(x)$ puis $f^{\prime\prime}(x)$.
- Étape 2 : déterminer le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ sur $I$ (factorisation, étude d'un trinôme, signe d'une exponentielle…).
- Étape 3 : appliquer le théorème : si $f^{\prime\prime} \geqslant 0$ sur un intervalle, $f$ y est convexe ; si $f^{\prime\prime} \leqslant 0$ sur un intervalle, $f$ y est concave.
- Étape 4 : conclure en précisant les intervalles de convexité et de concavité.
Polynôme du troisième degré
Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on étudie le signe de $f^{\prime\prime}(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.
$f^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
$f^{\prime\prime}(x) < 0$ pour $x < 1$ et $f^{\prime\prime}(x) > 0$ pour $x > 1$.
Étape 3 :
- Sur $]-\infty\,;\,1]$, $f^{\prime\prime} \leqslant 0$ donc $f$ est concave.
- Sur $[1\,;\,+\infty[$, $f^{\prime\prime} \geqslant 0$ donc $f$ est convexe.
Étape 4 : on conclut :
Polynôme du quatrième degré
Étudier la convexité de $g(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $g$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : $g^{\prime\prime}(x) = 12(x^2 - 1) = \color{red}{12(x - 1)(x + 1)}\color{black}$.
Le signe d'un trinôme du second degré donne :
$g^{\prime\prime}(x) > 0$ pour $x < -1$ ou $x > 1$ ; $g^{\prime\prime}(x) < 0$ pour $-1 < x < 1$.
Étape 3 :
- Sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$, $g^{\prime\prime} \geqslant 0$ : $g$ est convexe.
- Sur $[-1\,;\,1]$, $g^{\prime\prime} \leqslant 0$ : $g$ est concave.
Étape 4 :
Fonction exponentielle
Étudier la convexité de $h(x) = \text{e}^{2x-1}$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $h$ est de la forme $\text{e}^{ax+b}$ avec $a = 2$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{e}^{2x-1} > 0$, donc $h^{\prime\prime}(x) = 4\,\text{e}^{2x-1} > 0$.
Étape 3 : $h^{\prime\prime}$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
Étape 4 :
Remarque
Pour mémoriser : convexe ressemble à un « bol » (la courbe peut contenir de l'eau, $f^{\prime\prime} \geqslant 0$), concave ressemble à une « bosse » ($f^{\prime\prime} \leqslant 0$).
Une fonction peut être convexe sur tout son ensemble de définition (cas de $\text{e}^x$, $x \mapsto x^2$, $x \mapsto x^4$) ou changer de convexité (cas des polynômes de degré $\geqslant 3$).
Attention
La convexité dépend du signe de $f^{\prime\prime}$, pas de celui de $f^{\prime}$ ni de $f$. Une fonction décroissante peut être convexe (par exemple $x \mapsto \text{e}^{-x}$).
Toujours préciser l'intervalle de convexité et l'intervalle de concavité, pas un seul ensemble. Les intervalles se touchent en général au point d'inflexion (voir la fiche méthode dédiée).