Convexité d’une fonction polynomiale

1. La fonction $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme fonction polynomiale.

   $ f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 4 $

   La dérivée $ f^{\prime} $ est elle-même dérivable sur $ \mathbb{R} $.

   $ f^{\prime\prime}(x) = 6x - 12 $

2. On résout $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :

   $ 6x - 12 \geqslant 0 \iff 6x \geqslant 12 \iff x \geqslant 2 $

   Donc $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $ et $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ ]-\infty\,;2] $.

3. D'après le théorème du cours :

   • $ f $ est concave sur $ ]-\infty\,;2] $ (car $ f^{\prime\prime} \leqslant 0 $) ;
   • $ f $ est convexe sur $ [2\,;+\infty[ $ (car $ f^{\prime\prime} \geqslant 0 $).

4. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.

   L'ordonnée de ce point est :

   $ f(2) = 2^{3} - 6 \times 2^{2} + 4 \times 2 - 1 = 8 - 24 + 8 - 1 = -9 $

   Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(2\,;-9)}$.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion