Vrai/Faux : Dérivée seconde et convexité

Durée estimée

5 minutes

Difficulté

Pour chaque affirmation suivante sur le lien entre la dérivée seconde et la convexité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Affirmation : Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.

Question 2 :

Affirmation : Si $f$ est convexe sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.

Question 3 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 3x - 2$.

Affirmation : La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.

Question 4 :

Affirmation : Si $f''(a) > 0$, alors $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Question 5 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$.

Affirmation : La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 6 :

Affirmation : Si $f$ est concave sur $I$, alors la courbe représentative de $f$ est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$.