Vrai/Faux : Convexité, inégalités et lecture graphique

Affirmation : Une fonction convexe sur un intervalle $I$ a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$.

Affirmation : On peut affirmer que $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : Pour la fonction exponentielle, on a, pour tout réel $x$, $e^x \geqslant 1 + x$.

On donne la courbe d'une fonction $f$ deux fois dérivable. On observe que la courbe de $f'$ (la dérivée) est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : On peut en déduire que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : Une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ ne peut pas avoir un maximum local.

On donne le graphique de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$. On lit que $f''$ est strictement positive sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et que $f''(1) = 0$.

Affirmation : La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $1$.