Déterminer un point d’inflexion
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Pour déterminer le ou les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : calculer $f^{\prime\prime}(x)$.
- Étape 2 : résoudre $f^{\prime\prime}(x) = 0$ pour trouver les valeurs candidates $a$.
- Étape 3 : pour chaque candidat $a$, vérifier que $f^{\prime\prime}$ change de signe en $a$ (en étudiant le signe de $f^{\prime\prime}$ à gauche et à droite de $a$).
- Étape 4 : si le changement de signe est confirmé, calculer $f(a)$. Le point $A(a\,;\,f(a))$ est alors un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
Théorème : $A(a\,;\,f(a))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ s'annule et change de signe en $a$.
Polynôme du troisième degré
Déterminer le point d'inflexion de la courbe de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on résout $f^{\prime\prime}(x) = 0$ :
La seule valeur candidate est $a = 2$.
Étape 3 : le signe de $f^{\prime\prime}(x) = 6(x - 2)$ :
$f^{\prime\prime}(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f^{\prime\prime}(x) > 0$ pour $x > 2$.
$f^{\prime\prime}$ change donc bien de signe en $2$ (de négatif à positif).
Étape 4 : on calcule $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. Donc :
Polynôme du quatrième degré (deux points d'inflexion)
Déterminer les points d'inflexion de la courbe de $g(x) = x^4 - 6x^2$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $g$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on résout $g^{\prime\prime}(x) = 0$ :
$12x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$.
Étape 3 : $g^{\prime\prime}(x) = 12(x - 1)(x + 1)$. Le signe d'un trinôme à racines $-1$ et $1$ donne :
- $g^{\prime\prime}(x) > 0$ pour $x < -1$, puis $g^{\prime\prime}(x) < 0$ pour $-1 < x < 1$ : changement de signe en $-1$, ce qui est bien le cas.
- $g^{\prime\prime}(x) < 0$ pour $-1 < x < 1$, puis $g^{\prime\prime}(x) > 0$ pour $x > 1$ : changement de signe en $1$, ce qui est bien le cas.
Étape 4 : on calcule $g(-1) = 1 - 6 = -5$ et $g(1) = 1 - 6 = -5$. Donc :
Cas où la dérivée seconde s'annule sans changer de signe
La fonction $f(x) = x^4$ est définie sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $f^{\prime}(x) = 4x^3$ et $f^{\prime\prime}(x) = 12x^2$.
Étape 2 : $f^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow 12x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Candidat : $a = 0$.
Étape 3 : pour tout $x \neq 0$, $12x^2 > 0$. Donc $f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0$ partout : $f^{\prime\prime}$ s'annule en $0$ mais ne change pas de signe.
Étape 4 : la condition n'est pas remplie. On conclut :
Remarque
En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente. La fonction passe alors de concave à convexe ou de convexe à concave.
Pour un polynôme de degré $3$, il y a toujours exactement un point d'inflexion (la dérivée seconde est affine et change de signe à son annulation).
Attention
L'annulation de $f^{\prime\prime}$ ne suffit pas : il faut impérativement vérifier le changement de signe (voir l'exemple 3 avec $x^4$). Sans changement de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.
Les coordonnées du point d'inflexion sont $(a\,;\,f(a))$ et non $(a\,;\,f^{\prime\prime}(a))$. Toujours utiliser la fonction $f$ pour calculer l'ordonnée.