Calculer une probabilité avec la loi binomiale
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Soit $ X $ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $ \mathcal{B}(n;p) $.
- Étape 1 : identifier les paramètres $ n $ et $ p $, ainsi que le type de probabilité demandé : $ p(X=k) $, $ p(X\leqslant k) $, $ p(X\geqslant k) $ ou $ p(a\leqslant X\leqslant b) $.
Étape 2 : choisir l'outil adapté.
- Pour $ p(X=k) $ : appliquer la formule $ p(X=k)=\dbinom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} $ (coefficient binomial calculé avec nCr sur la calculatrice).
- Pour $ p(X\leqslant k) $ : utiliser la fonction binomFRép (ou binomCDF) de la calculatrice.
- Pour $ p(X\geqslant k) $ : passer par l'événement contraire : $ p(X\geqslant k)=1-p(X\leqslant k-1) $.
- Pour $ p(a\leqslant X\leqslant b) $ : calculer $ p(X\leqslant b)-p(X\leqslant a-1) $.
- Étape 3 : effectuer le calcul, donner une valeur arrondie selon la précision demandée et interpréter le résultat dans le contexte.
Probabilité ponctuelle p(X=k)
Une pièce équilibrée est lancée $ 8 $ fois. On note $ X $ le nombre de Pile obtenus. Calculer $ p(X=3) $.
Étape 1 : $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}\left(8\,;\,\dfrac{1}{2}\right) $. On cherche $ p(X=3) $.
Étape 2 : application de la formule :
À la calculatrice : $ \dbinom{8}{3}=56 $.
Étape 3 :
Il y a environ $ 21{,}9\,\% $ de chances d'obtenir exactement $ 3 $ Pile en $ 8 $ lancers.
Probabilité cumulée p(X<=k)
Dans un QCM à $ 4 $ propositions, une seule réponse est juste. Un élève répond au hasard à $ 10 $ questions. Soit $ X $ le nombre de bonnes réponses. Calculer la probabilité d'obtenir au plus $ 2 $ bonnes réponses.
Étape 1 : chaque question est une épreuve de Bernoulli avec $ p=\dfrac{1}{4}=0{,}25 $. Donc $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25) $. On cherche $ p(X\leqslant 2) $.
Étape 2 : avec la calculatrice :
Étape 3 :
Il y a environ $ 52{,}6\,\% $ de chances d'obtenir au plus $ 2 $ bonnes réponses.
Probabilité d'au moins un succès
Dans une fabrication, $ 10\,\% $ des objets sont défectueux. On prélève $ 20 $ objets. Soit $ X $ le nombre d'objets défectueux. Calculer la probabilité d'avoir au moins un objet défectueux.
Étape 1 : $ X $ suit la loi $ \mathcal{B}(20\,;\,0{,}1) $. On cherche $ p(X\geqslant 1) $.
Étape 2 : passage par l'événement contraire :
Étape 3 : à la calculatrice, $ (0{,}9)^{20}\approx 0{,}1216 $.
Il y a environ $ 87{,}8\,\% $ de chances d'avoir au moins un objet défectueux dans le lot.
Remarque
Pour les calculs de probabilités cumulées, la calculatrice est indispensable :
- Sur TI : 2nde DISTR $ \to $ binomFdp( (pour $ p(X=k) $) ou binomFRép( (pour $ p(X\leqslant k) $).
- Sur Casio : OPTN $ \to $ STAT $ \to $ DIST $ \to $ BINM puis Bpd ou Bcd.
- Sur Numworks : application Probabilités $ \to $ Loi binomiale.
Attention
Pièges fréquents :
- Oublier que $ p(X\geqslant k) $ ne se calcule pas directement : passer par $ 1-p(X\leqslant k-1) $.
- Confondre $ p(X\geqslant k) $ et $ p(X > k) $ : pour la première, on inclut $ k $ ; pour la seconde, $ p(X > k)=1-p(X\leqslant k) $.
- Inverser les rôles de $ k $ et de $ n-k $ dans la formule : l'exposant de $ p $ est le nombre de succès $ k $.
- Utiliser $ p $ et $ 1-p $ au mauvais endroit : $ p $ est toujours la probabilité du succès.