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Loi binomiale et loi géométrique Exercices

Loi binomiale : gestion de stock d’une boulangerie

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

Dans une boulangerie, on a observé que chaque client, indépendamment des autres, demande une baguette traditionnelle avec une probabilité de $ 0{,}15 $.

Un samedi matin, le boulanger reçoit $ 50 $ clients. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients demandant une baguette traditionnelle.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Arrondir l'écart-type à $ 10^{-2} $.
  3. Le boulanger a préparé $ 10 $ baguettes traditionnelles ce matin-là. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité qu'il puisse satisfaire tous les clients demandant ce type de baguette. Arrondir à $ 10^{-3} $.

  4. Le boulanger souhaite déterminer le nombre minimal $ k $ de baguettes traditionnelles à préparer pour que la probabilité de satisfaire tous les clients qui en demandent soit au moins égale à $ 0{,}95 $.

    1. Traduire la condition à respecter par une inégalité portant sur $ p\left(X \leqslant k\right) $.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $ k $.
  5. Avec ce stock minimal $ k $, quelle est la probabilité que le boulanger soit en rupture (au moins un client non satisfait) ? Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 50 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli à deux issues : « le client demande une baguette traditionnelle » (succès, de probabilité $ p = 0{,}15 $) et « le client n'en demande pas » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}85 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(50\ ;\ 0{,}15\right) $.

  2. L'espérance est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 $ = $\mathbf{7{,}5}$.

    En moyenne, $ 7{,}5 $ clients sur $ 50 $ demandent une baguette traditionnelle.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 6{,}375 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{6{,}375} \approx $ $\mathbf{2{,}52}$.

  3. Le boulanger satisfait tous les clients si, et seulement si, le nombre de demandes ne dépasse pas le stock disponible, c'est-à-dire $ X \leqslant 10 $.

    À l'aide de la calculatrice (fonction binomFRép ou binomcdf avec $ n = 50 $, $ p = 0{,}15 $, $ k = 10 $) :

    $ p\left(X \leqslant 10\right) \approx $ $\mathbf{0{,}880}$.

    La probabilité que le boulanger satisfasse tous les clients avec un stock de $ 10 $ baguettes est environ $ 0{,}880 $.

    1. Le boulanger satisfait tous les clients si $ X \leqslant k $. La condition s'écrit donc :

      $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $.

    2. À la calculatrice, on calcule $ p\left(X \leqslant k\right) $ pour différentes valeurs de $ k $ :

      $k$ $10$ $11$ $12$ $13$
      $p(X\leqslant k)$ $0{,}880$ $0{,}937$ $0{,}970$ $0{,}987$

      La plus petite valeur de $ k $ vérifiant $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $ est $\mathbf{k = 12}$.

      Le boulanger doit préparer au minimum $ 12 $ baguettes traditionnelles pour avoir au moins $ 95\% $ de chances de satisfaire tous les clients.

  5. Avec un stock de $ 12 $ baguettes, le boulanger est en rupture si $ X \geqslant 13 $. Or :

    $ p\left(X \geqslant 13\right) = 1 - p\left(X \leqslant 12\right) $

    $ p\left(X \geqslant 13\right) \approx 1 - 0{,}970 \approx $ $\mathbf{0{,}030}$.

    La probabilité de rupture avec ce stock est d'environ $ 3\% $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale