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Loi binomiale et loi géométrique Exercices

Loi binomiale : tirs au but au football

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur professionnel effectue $ 11 $ tirs au but indépendants les uns des autres. La probabilité qu'il marque sur un tir donné est de $ 0{,}7 $.

On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis sur les $ 11 $ tentatives.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.
  3. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Interpréter l'espérance dans le contexte de l'exercice.
  4. Calculer la probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 11 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli ayant deux issues : « marquer » (succès, de probabilité $ p = 0{,}7 $) et « manquer » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}3 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(11\ ;\ 0{,}7\right) $.

  2. D'après la formule de la loi binomiale :

    $ p\left(X = 8\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{8} \times 0{,}3^{3} $

    $ p\left(X = 8\right) = 165 \times 0{,}05764801 \times 0{,}027 $

    $ p\left(X = 8\right) \approx $ $\mathbf{0{,}257}$.

    La probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs est environ $ 0{,}257 $.

  3. L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi $ \mathscr B \left(n\ ;\ p\right) $ est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 $ = $\mathbf{7{,}7}$.

    Interprétation : sur un grand nombre de séances de $ 11 $ tirs, le joueur marque en moyenne $ 7{,}7 $ tirs par séance.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}31 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{2{,}31} \approx $ $\mathbf{1{,}52}$.

  4. On calcule :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) = p\left(X = 9\right) + p\left(X = 10\right) + p\left(X = 11\right) $

    $ p\left(X = 9\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{9} \times 0{,}3^{2} = 55 \times 0{,}040353607 \times 0{,}09 \approx 0{,}1998 $

    $ p\left(X = 10\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{10} \times 0{,}3^{1} = 11 \times 0{,}0282475 \times 0{,}3 \approx 0{,}0932 $

    $ p\left(X = 11\right) = 0{,}7^{11} \approx 0{,}0198 $

    D'où :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) \approx 0{,}1998 + 0{,}0932 + 0{,}0198 \approx $ $\mathbf{0{,}313}$.

    La probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs sur $ 11 $ est environ $ 0{,}313 $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale