Exercice 1   (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. La courbe $\mathscr C_{h}$ représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est représentée ci-dessous.
   On a tracé la tangente $T$ à $\mathscr C_{h}$ au point A$\left( - 1 ; 3\right)$.
   $T$ passe par le point B$\left(0 ; - 2\right)$.

   

   Proposition : le nombre dérivé $h^{\prime}\left( - 1\right)$ est égal à $- 2$.

2. On désigne par $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\left[0 ;+\infty \right[$.
   La courbe représentative de la fonction $f^{\prime\prime}$, dérivée seconde de la fonction $f$, est donnée ci-contre.
   Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses. Proposition : la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [1 ; 4]. 

   

3. Proposition : On a l'égalité

   $e^{5\ln 2} \times e^{7\ln 4}=2^{19}.$

4. La courbe représentative d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle [0 ; 2] est donnée en figure 1.

   

   Figure 1

   La courbe représentative d'une de ses primitives, $G$, est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de $G$ passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).

   

   Figure 2

   Proposition : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de $g$ en figure est 4 unités d'aires.