Exercice 4   (6 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.

Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I=\left]0 ; 3\right]$ par

$f\left(x\right)=10x^{2} - 20x \ln x.$

Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f\left(x\right)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros.

La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction $r$ définie sur le même intervalle $I$.

Partie A

La courbe $\mathscr C$ représentative de la fonction $f$ et la droite $D$ représentative de la fonction linéaire $r$ sont données ci-dessous.

1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

   1. Donner le prix de vente en euros de $100$ litres de sorbet.

   2. Donner l'expression de $r\left(x\right)$ en fonction de $x$.

   3. Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice

2. On admet que $\int_{1}^{3} 20x \ln xdx=90 \ln 3 - 40$.

   1. En déduire la valeur de $\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx$.

   2. En déduire, pour une production comprise entre $100$ et $300$ litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production

Partie B

On note $B\left(x\right)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[1 ; 3\right]$, on a :

$B\left(x\right) = - 10x^{2}+10x+20x \ln x$

où $B\left(x\right)$ est exprimé en centaines d'euros.

1. On note $B^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $B$.

   Montrer que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle $\left[1 ; 3\right]$, on a : $B^{\prime}\left(x\right) = - 20x +20 \ln x+30$.

2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B^{\prime}$ sur l'intervalle $\left[1 ; 3\right]$.

   

   1. Montrer que l'équation $B^{\prime}\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[1 ; 3\right]$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{ - 2}$.

   2. En déduire le signe de $B^{\prime}\left(x\right)$ sur l'intervalle [1 ; 3] puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle

3. L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$ euros. Est-ce envisageable?