Suites-Matrices (spé) - Bac ES/L Pondichéry 2014
Exercice 2 (5 points)
Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.
Partie A
En 2013, l'entreprise U avait 45% du marché et l'entreprise V le reste.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel :
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année , ainsi ;
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année .
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.
Donner , calculer et ·
On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.
Variables : est un nombre entier naturel non nul L1 et sont des nombres réels L2 Traitement : Saisir une valeur pour L3 Affecter à la valeur L4 Affecter à la valeur ... L5 Pour allant de 1 jusqu'à L6 Affecter à la valeur L7 Affecter à la valeur ... L8 Fin Pour L9 Sortie : Afficher et Afficher L10 Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.
On admet que, pour tout nombre entier naturel .
On note, pour tout nombre entier naturel .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Quelle est la limite de la suite ? En déduire la limite de la suite . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice
Partie B
L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :
Nombre de recharges en milliers | 1 | 3 | 5 |
Coût total annuel de production en centaines d'euros | 11 | 27,4 | 83 |
( sont des nombres réels ).
Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d'euros.
On admet que le triplet est solution du système .
et on pose:
Écrire ce système sous la forme où et sont des matrices que l'on précisera.
On admet que la matrice est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet solution du système
En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau produites ?