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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites-Matrices (spé) - Bac ES/L Pondichéry 2014

Exercice 2   (5 points)

Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

Partie A

En 2013, l'entreprise U avait 45% du marché et l'entreprise V le reste.

Chaque année, l'entreprise U conserve 90% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel nn :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.

  2. Donner v0v_{0}, calculer u1u_{1} et v1v_{1}·

  3. On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de unu_{n} et vnv_{n} pour un entier naturel nn saisi en entrée.

    Variables : NN est un nombre entier naturel non nul L1
    UU et VV sont des nombres réels L2
    Traitement : Saisir une valeur pour NN L3
    Affecter à UU la valeur 0,450,45 L4
    Affecter à VV la valeur ... L5
    Pour ii allant de 1 jusqu'à NN L6
    \quad\quad\quadAffecter à UU la valeur 0,9×U+0,15×V0,9 \times U+0,15 \times V L7
    \quad\quad\quadAffecter à VV la valeur ... L8
    Fin Pour L9
    Sortie : Afficher UU et Afficher VV L10

    Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.

  4. On admet que, pour tout nombre entier naturel n,un+1=0,75un+0,15n, u_{n+1}=0, 75u_{n}+0,15.

    On note, pour tout nombre entier naturel n,wn=un0,6n, w_{n}=u_{n} - 0,6.

    1. Montrer que la suite (wn)\left(w_{n}\right) est une suite géométrique de raison 0,750,75.

    2. Quelle est la limite de la suite (wn)\left(w_{n}\right) ? En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right). Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice

Partie B

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

Nombre de recharges en milliers 1 3 5
Coût total annuel de production en centaines d'euros 11 27,4 83
Le coût total de production est modélisé par une fonction CC définie pour tout nombre réel xx de l'intervalle [0 ; 10] par :

C(x)=ax3+bx2+cx+10C\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+10 ( a,betca, b et c sont des nombres réels ).

Lorsque le nombre xx désigne le nombre de milliers de recharges produites, C(x)C\left(x\right) est le coût total de production en centaines d'euros.

On admet que le triplet (a,b,c)\left(a, b, c\right) est solution du système (S)\left(S\right).

(S)\left(S\right){a+b+c=127a+9b+3c=17,4125a+25b+5c=73\left\{\begin{matrix} a+b+c = 1\\ 27a+9b+3c = 17,4 \\ 125a+25b+5c = 73\end{matrix}\right.

et on pose:X=(abc). X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}.

    1. Écrire ce système sous la forme MX=YMX=YMM et YY sont des matrices que l'on précisera.

    2. On admet que la matrice MM est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet (a,b,c)\left(a, b, c\right) solution du système (S)\left(S\right)

  1. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau produites ?