Exercice 2   (5 points)

Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

Partie A

En 2013, l'entreprise U avait 45% du marché et l'entreprise V le reste.

Chaque année, l'entreprise U conserve 90% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ :

• $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013+n$, ainsi $u_{0}=0,45$ ;

• $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013+n$.

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.

2. Donner $v_{0}$, calculer $u_{1}$ et $v_{1}$·

3. On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée.

   Variables :	$N$ est un nombre entier naturel non nul	L1
   	$U$ et $V$ sont des nombres réels	L2
   Traitement :	Saisir une valeur pour $N$	L3
   	Affecter à $U$ la valeur $0,45$	L4
   	Affecter à $V$ la valeur ...	L5
   	Pour $i$ allant de 1 jusqu'à $N$	L6
   	$\quad$$\quad$$\quad$Affecter à $U$ la valeur $0,9 \times U+0,15 \times V$	L7
   	$\quad$$\quad$$\quad$Affecter à $V$ la valeur ...	L8
   	Fin Pour	L9
   Sortie :	Afficher $U$ et Afficher $V$	L10

   Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.

4. On admet que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n+1}=0, 75u_{n}+0,15$.

   On note, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n}=u_{n} - 0,6$.

   1. Montrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.

   2. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice

Partie B

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

$C\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+10$( $a, b et c$sont des nombres réels ).

Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C\left(x\right)$ est le coût total de production en centaines d'euros.

On admet que le triplet $\left(a, b, c\right)$ est solution du système $\left(S\right)$.

$\left(S\right)$$\left\{\begin{matrix} a+b+c = 1\\ 27a+9b+3c = 17,4 \\ 125a+25b+5c = 73\end{matrix}\right.$

et on pose:$X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}.$

1. 1. Écrire ce système sous la forme $MX=Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera.

   2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet $\left(a, b, c\right)$ solution du système $\left(S\right)$

2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d'eau produites ?