Théorème des valeurs intermédiaires

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Montrer que l'équation

$\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$

admet une unique solution sur l'intervalle $[1;2]$.
À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée de cette solution à $10^{-3}$ près.

Corrigé

L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$ équivaut à $\dfrac{2x+3}{x+1} - x^2 = 0$.

Posons $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1} - x^2$ sur l'intervalle $I = [1;2]$.

Puisque $x+1 \neq 0$ pour tout $x$ de $I$, $f$ est définie et dérivable, donc continue, sur $I$.

On calcule la dérivée :

$f'(x) = \dfrac{2(x+1) - (2x+3)}{(x+1)^2} - 2x = \dfrac{-1}{(x+1)^2} - 2x$

$f'(x)$ est strictement négative sur $[1;2]$ comme somme de deux quantités strictement négatives.

Par ailleurs, $f(1) = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}$ et $f(2) = \dfrac{7}{3} - 4 = -\dfrac{5}{3}$.

On en déduit le tableau de variations de $f$ sur $I$ :

La fonction $f$ est continue, strictement décroissante sur $[1;2]$, et $0$ est compris entre $f(1) = \dfrac{3}{2}$ et $f(2) = -\dfrac{5}{3}$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$ admet une unique solution sur $I = [1;2]$.
À l'aide d'une calculatrice (par balayage ou avec la table de valeurs), une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette solution est $\mathbf{1{,}547}$.