Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.

Un individu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant:

• $5\%$ des individus tombent malades;

• $20\%$ des individus guérissent.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_{n}$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_{n}$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience.

On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_{0}=1$, $b_{0}=0$ et $c_{0}=0$

1. Calculer $a_{1}$, $b_{1}$ et $c_{1}$.

2. 1. Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$.

   2. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$.

3. On admet que $c_{n+1}=0,2b_{n}+c_{n}$.

   Pour tout entier naturel $n$, on définit

   $U_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n}\end{pmatrix}$

   On définit les matrices

   $A=\begin{pmatrix} 0,95 & 0 & 0 \\ 0,05 & 0,8 & 0 \\ 0 & 0,2 & 1 \end{pmatrix}$

   et $D=\begin{pmatrix} 0,95 & 0 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

   On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que

   $D=P^{ - 1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^{n}=P\times D^{n}\times P^{ - 1}$.

   1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$,

      $U_{n+1}= A\times U_{n}$.

   2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n}=A^{n}\times U_{0}$.

      Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

      $D^{n}=\begin{pmatrix} 0,95^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0,8^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. On admet que $A^{n} =\begin{pmatrix} 0,95^{n} & 0 & 0 \\ \\ \frac{1}{3}\left(0,95^{n} - 0,8^{n}\right) & 0,8^{n} & 0 \\ \\ \frac{1}{3}\left(3 - 4\times 0,95^{n}+0,8^{n}\right) & 1 - 0,8^{n} & 1\end{pmatrix}$

   1. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_{n}=\frac{1}{3}\left(0,95^{n} - 0,8^{n}\right)$

   2. Déterminer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$.

   3. On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.

      On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.

      À cet effet, on utilise l'algorithme donné ci-dessous (à rendre avec la copie), dans lequel on compare les termes successifs de la suite $\left(b_{n}\right)$.

      Variables	$b, b^{\prime}, x, y$ sont des réels
      	$k$ est un entier naturel
      Initialisation	Affecter à $b$ la valeur 0
      	Affecter à $b^{\prime}$ la valeur $0,05$
      	Affecter à $k$ la valeur $0$
      	Affecter à $x$ la valeur $0,95$
      	Affecter à $y$ la valeur $0,8$
      Traitement	Tant que $b < b^{\prime}$ faire :
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $k$ la valeur $k+1$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $b$ la valeur $b^{\prime}$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $x$ la valeur $0,95 x$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $y$ la valeur $0,80 y$
      	$\quad \quad \quad$Affecter à $b^{\prime}$ la valeur ...
      	Fin Tant que
      Sortie	Afficher ...

      Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau ci-dessous.

      	$k$	$b$	$x$	$y$	$b^{\prime}$	Test: $b < b^{\prime}$ ?
      Après le 7ième passage dans la boucle Tant que	7	$0,1628$	$0,6634$	$0,1678$	$0,1652$	Vrai
      Après le 8ième passage éventuel dans la boucle Tant que
      Après le 9ième passage éventuel dans la boucle Tant que

      Conclure.