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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac S Liban 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [0;+[\left[0 ; +\infty \right[ par

f(x)=xex.f\left(x\right)=xe^{ - x}.

On note C\mathscr C la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. On note ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[.

    Pour tout réel xx de l'intervalle [0;+[\left[0 ; +\infty \right[, calculer f(x)f^{\prime}\left(x\right). En déduire les variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;+[\left[0 ; +\infty \right[.

  2. Déterminer la limite de la fonction ff en ++\infty . Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

Partie B

Soit A\mathscr A la fonction définie sur l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[ de la façon suivante : pour tout réel tt de l'intervalle [0;+[\left[0 ; +\infty \right[, A(t)\mathscr A\left(t\right) est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C\mathscr C et les droites d'équations x=0x=0 et x=tx=t.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction A\mathscr A.

  2. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe C\mathscr C et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction A\mathscr A?

  3. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel α\alpha tel que la droite d'équation x=αx =\alpha partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe C\mathscr C, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.

    1. Démontrer que l'équation A(t)=12\mathscr A\left(t\right)=\frac{1}{2} admet une unique solution sur l'intervalle [0;+[\left[0 ; +\infty \right[

    2. Sur le graphique fourni ci_dessous, sont tracées la courbe C\mathscr C, ainsi que la courbe Γ\Gamma représentant la fonction A\mathscr A.

      Fonctions - Bac S Liban 2014

      Sur le graphique, identifier les courbes C\mathscr C et Γ\Gamma , puis tracer la droite d'équation y=12y=\frac{1}{2}. En déduire une valeur approchée du réel α\alpha . Hachurer le domaine correspondant à A(α)\mathscr A\left(\alpha \right)

  4. On définit la fonction gg sur l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[ par g(x)=(x+1)exg\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{ - x}.

    1. On note gg^{\prime} la fonction dérivée de la fonction gg sur l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[.

      Pour tout réel xx de l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[, calculer g(x)g^{\prime}\left(x\right).

    2. En déduire, pour tout réel tt de l'intervalle [0;+[\left[0; +\infty \right[, une expression de A(t)\mathscr A\left(t\right).

    3. Calculer une valeur approchée à 10210^{ - 2} près de A(6)\mathscr A\left(6\right)