Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_{n}\right)$ définie par $z_{0}=\sqrt{3} - i$ et pour tout entier naturel $n$:

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n}=| z_{n} |$.

1. Calculer $u_{0}$.

2. Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.

3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.

4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

5. Etant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_{n} > p$.

   Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.

   Variables	$u$ est un réel
   	$p$ est un réel
   	$n$ est un entier
   Initialisation	Affecter à $n$ la valeur 0
   	Affecter à $u$ la valeur 2
   Entrée	Demander la valeur de $p$
   Traitement	...
   Sortie	...

Partie B

1. Déterminer la forme algébrique de $z_{1}$.

2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{0}$ et de $1+i$.

   En déduire la forme exponentielle de $z_{1}$.

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi }{12}\right)$