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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et complexes - Bac S Liban 2014

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite de nombres complexes (zn)\left(z_{n}\right) définie par z0=3iz_{0}=\sqrt{3} - i et pour tout entier naturel nn:

zn+1=(1+i)zn.z_{n+1}=\left(1+i\right)z_{n}.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Pour tout entier naturel nn, on pose un=znu_{n}=| z_{n} |.

  1. Calculer u0u_{0}.

  2. Démontrer que (un)\left(u_{n}\right) est la suite géométrique de raison 2\sqrt{2} et de premier terme 2.

  3. Pour tout entier naturel nn, exprimer unu_{n} en fonction de nn.

  4. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

  5. Etant donné un réel positif pp, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel nn telle que un>pu_{n} > p.

    Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier nn.

    Variables uu est un réel
    pp est un réel
    nn est un entier
    Initialisation Affecter à nn la valeur 0
    Affecter à uu la valeur 2
    Entrée Demander la valeur de pp
    Traitement ...
    Sortie ...

Partie B

  1. Déterminer la forme algébrique de z1z_{1}.

  2. Déterminer la forme exponentielle de z0z_{0} et de 1+i1+i.

    En déduire la forme exponentielle de z1z_{1}.

  3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos(π12)\cos\left(\frac{\pi }{12}\right)