Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « mathématiques »

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.

À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

Soit $n$ un entier naturel.

On note $a_n$ la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$ ».
On note $b_n$ la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie B à l'étape $n$ ».
On note $c_n$ la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie C à l'étape $n$ ».

À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.

Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :

L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?

2. Quelle conjecture peut-on émettre ?

Partie B

1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.

   2. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.

   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$,  $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$,  $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.

   2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :

   $a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left( - \dfrac{1}{6}\right)^n$,
   $b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left( - \dfrac{1}{6}\right)^n$
   et $c_{n} = \dfrac{3}{14} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left( - \dfrac{1}{6}\right)^n.$

4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?