Suites – Bac S Polynésie 2018
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « mathématiques »
Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.
À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Soit un entier naturel.
On note la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie A à l'étape ».
On note la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie B à l'étape ».
On note la probabilité de l'événement : « le lapin est dans la galerie C à l'étape ».
À l'étape , le lapin est dans la galerie A.
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :
L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.
Partie A
À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :
A | B | C | D | |
1 | ||||
2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
3 | 1 | 0,333 | 0,667 | 0 |
4 | 2 | 0,278 | 0,556 | 0,167 |
5 | 3 | 0,231 | 0,574 | 0,194 |
6 | 4 | 0,221 | 0,571 | 0,208 |
7 | 5 | 0,216 | 0,572 | 0,212 |
8 | 6 | 0,215 | 0,571 | 0,214 |
9 | 7 | 0,215 | 0,571 | 0,214 |
10 | 8 | 0,214 | 0,571 | 0,214 |
11 | 9 | 0,214 | 0,571 | 0,214 |
12 | 10 | 0,214 | 0,571 | 0,214 |
Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
Quelle conjecture peut-on émettre ?
Partie B
On définit la suite , pour tout entier naturel , par .
Démontrer que la suite est géométrique en précisant sa raison.
Donner, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .
On définit la suite par pour tout entier naturel .
Expliquer pourquoi pour tout entier naturel , et en déduire que pour tout entier naturel , .
En déduire, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .
En déduire que pour tout entier naturel , on a :
,
etQue peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?