Exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = k\text{e}^{ - kx}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.

On appelle $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v})$.

On considère le point A de la courbe $\mathscr{C}_f$ d'abscisse 0 et le point B de la courbe $\mathscr{C}_f$ d'abscisse 1.

Le point C a pour coordonnées (1 ; 0).

1. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

2. Exprimer, en fonction de $k$, l'aire du triangle OCB et celle du domaine $\mathscr{D}$ délimité par l'axe des ordonnées, la courbe $\mathscr{C}_f$ et le segment [OB].

3. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l'aire du domaine $\mathscr{D}$ vaut le double de celle du triangle OCB.