Exercice 3 (5 points)

Candidats de ES n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques » et candidats de L.

Une société propose des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, $14\,\%$ des contrats supplémentaires sont souscrits et $7$ sont résiliés.

En $2017$, l'entreprise dénombrait $120$ contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre de contrats souscrits l'année $2017+n$.

Ainsi on a $u_0=120$.

1. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14 u_n - 7$.

   2. Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2018.

2. Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l'entreprise ne peut prendre ne charge que 190 contrats. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.

   On cherche donc à savoir en quelle année l'entreprise devra embaucher.

   Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :

   

   1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.

   2. Quelle est l'année affichée en sortie d'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

3. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n - 50$ pour tout entier naturel $n$.

   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démonter que, pour tout entier naturel $n$,

      $u_n=70\times 1,14^n+50.$

   3. Résoudre par le calcul l'inéquation $u_n>190$.

      Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ?