Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur $100$, on dit qu'il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu'il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu'il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous ($x$ est exprimé en heures).

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

1. Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».

2. Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » $g$ est définie sur l'intervalle $[0\,~:\,30]$ par $g(x)=12,5 x \text{e}^{ - 0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~30]$,

   $g^{\prime}(x)=(12,5 - 1,562~5 x) \text{e}^{ - 0,125x+1}.$

2. Étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $[0~;~30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.

3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet « saturation » ?

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » $h$, est définie sur l'intervalle $[10~;~50]$ par

($x$ est exprimé en millier d'euros).

La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1. Donner sans justification une expression de $h^{\prime \prime}(x)$.

2. Résoudre dans l'intervalle $[10\,~:\,50]$ l'inéquation $\text{e}^{ - 0,25x+6} - 1>0$.

3. Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l'intervalle $[10\,~:\,50]$.

4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.

5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80.
   Arrondir au millier d'euros.