Exercice 3 (5 points)

Candidats de ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Betacopy » proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné.

Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

• 15 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Betacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy :

• 25 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Betacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Betacopy.

On définit les événements suivants :

• $A$ : « le client est sous contrat avec l'entreprise Alphacopy » :

• $B$ : « le client est sous contrat avec l'entreprise Betacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$ :

• $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année $2017+n$ :

• $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Betacopy l'année $2017+ n$.

On note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2017+n$.

L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62 % des contrats d'entretien des photocopieurs.

1. Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique.

2. Montrer que $P = \begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice.

3. À votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ?

En 2017, on sait que 46 % des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy.

On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix} 0,46 & 0,54\end{pmatrix}$.

1. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n \times M$.

   Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,85 a_n + 0,25 b_n$ puis que

   $a_{n+1} = 0,60 a_n + 0,25.$

2. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

   

   1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.

   2. Quelle est l'année en sortie de l'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

3. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n - 0,625$ pour tout entier naturel $n$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.

   2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$,

      $a_n= - 0,165 \times 0,60^n + 0,625.$

   3. Résoudre par le calcul l'inéquation $a_n \geqslant 0,62$.

      Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ?