Dans l'arbre ci-dessous les événements $X_1=1, X_1=2, X_1=3$ ont été représenté par $\red1, \red2, \red3$ et les événements $X_2=1, X_2=2, X_2=3$ par $\blue1, \blue2, \blue3$ :

$X_1$ suit la loi représentée par le tableau :

D'après la formules des probabilités totales :

$\begin{aligned} p(X_2=1) &= p((X_1=2) \cap (X_2=1)) + p((X_1=3) \cap (X_2=1)) \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{aligned}$
Un calcul analogue donne $p(X_2=2) = p(X_2=3) = \dfrac{ 1 }{ 3 }$

D'après l'arbre on trouve que :

$p((X_1=1) \cap (X_2=2)) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 6}$

tandis que :
$p(X_1=1) \times p(X_2=2) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 1 }{ 9}$

Comme $p((X_1=1) \cap (X_2=2)) \neq p(X_1=1) \times p(X_2=2)$ , les variables $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.

1. La variable aléatoire $Y$ représente la somme des nombres inscrits sur les deux boules.

2. $E(X_ 1) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2$

   De même :
   $E(X_ 2) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2$

   Par conséquent :

   $E(Y) = E(X_ 1)+E(X_ 2) = 2+2 = 4$
   (la formule $E(X_ 1 + X_ 2) = E(X_ 1)+E(X_ 2)$est valable même si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes.)

1. La variable aléatoire $Y$ peut prendre les valeurs entières comprises entre $3$ et $5$.

   À l'aide de l'arbre et d'un raisonnement similaire à celui de la question 4., on obtient le tableau :
   

   $y_i$	3	4	5
   $p(Y= y_i)$	$\dfrac{ 1 }{ 3 }$	$\dfrac{ 1 }{ 3 }$	$\dfrac{ 1 }{ 3 }$

2. On retrouve bien alors :

   $E(Y) = 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 4$

1. D'après la formule de la variance :

   $V(X_1) = E(X_1^2) - E(X_1)^2$

   Or :
   $E(X_1^2) = 1^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 14 }{ 3 }$

   par conséquent :

   $V(X_1) = \dfrac{ 14 }{ 3 } - 2^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }.$

   Le calcul et le résultat sont identiques pour $X_2$ donc $V(X_2) = \dfrac{ 2 }{ 3 }.$

   Pour $Y$ on obtient :

   $E(Y^2) = 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 50 }{ 3 }$

   et :

   $V(Y) = \dfrac{ 50 }{ 3 } - 4^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }$

2. On voit que $V(Y) \neq V(X_1) + V(X_2)$, ce qui confirme le fait que $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.