Soit une variable aléatoire $X$ représentant la note (sur 20) d'un élève à un examen. On sait que :

• La moyenne des notes est $\mu = 12$

• La variance des notes est $V = 4$

1. Calculez l'écart-type $\sigma$ de la distribution des notes.

2. 1. Utilisez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 10 et 14.

   2. Utilisez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 8 et 16.

1. Calcul de l'écart-type

   L'écart-type $\sigma$ est donné par $\sigma = \sqrt{V}$. Donc, $\sigma = \sqrt{4} = 2$.

2. Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

   1. Nous voulons minorer la probabilité que la note $X$ soit comprise entre 10 et 14, c'est-à-dire minorer $P(10 \leqslant X \leqslant 14)$.

      Nous réécrivons cette probabilité en termes de $\mu$ et $\sigma$ :

      $P(10 \leqslant X \leqslant 14) = P(\mu - 2 \leqslant X \leqslant \mu + 2)$

      Cette probabilité peut aussi s'écrire comme :

      $P(|X - \mu| \leqslant 2)$

      Utilisons maintenant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $k = 1$ (puisque $2 = 1 \times \sigma$) :

      $P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \frac{1}{k^2}$

      Pour $k = 1$ :

      $P(|X - 12| \geqslant 2) \leqslant \frac{1}{1^2} = 1$

      Cependant, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous donne la probabilité complémentaire de celle cherchée donc :

      $P(|X - \mu| < k\sigma) \geqslant 1 - \frac{1}{k^2}$

      $P(|X - 12| < 2) \geqslant 1 - 1 = 0$

      Ce qui est trivialement vrai mais non informatif !

      On remarque que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est assez imprécise notamment pour des petites valeurs de $k$ pour lesquelles elle ne donne aucune information intéressante.

   2. Nous voulons aussi minorer la probabilité que la note $X$ soit comprise entre 8 et 16, c'est-à-dire $P(8 \leqslant X \leqslant 16)$.

      Nous réécrivons cette probabilité en termes de $\mu$ et $\sigma$ :

      $P(8 \leqslant X \leqslant 16) = P(\mu - 4 \leqslant X \leqslant \mu + 4)$

      Cette probabilité peut aussi s'écrire comme :

      $P(|X - \mu| \leqslant 4)$

      Utilisons maintenant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $k = 2$ (puisque $4 = 2\sigma$) :

      $P(|X - \mu| \geqslant 2\sigma) \leqslant \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

      Cela signifie que :

      $P(|X - \mu| < 2\sigma) \geqslant 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

      Donc :

      $P(8 \leqslant X \leqslant 16) \geqslant 0,75$

      La probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 8 et 16 est donc supérieure ou égale à 75 %.