Moyenne et inégalité de concentration

On effectue $n$ tirages avec remise d'une boule d'une urne contenant 100 boules, dont 25 sont rouges et 75 sont bleues.

Pour le $i$ -ième tirage, on note $Y_i$ la variable aléatoire valant 1 si la boule tirée est rouge et 0 sinon.

Calculer l'espérance mathématique et la variance de $Y_i$ .
Déterminer l'espérance mathématique et la variance de la moyenne $M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i$ .
D'après l'inégalité de concentration, quel est le plus petit nombre de tirages $n$ nécessaires pour que la probabilité que la moyenne $M_n$ s'écarte de son espérance de plus de 0,1 soit inférieure à 0,05 ?

Corrigé

L'espérance mathématique de $Y_i$ est donnée par :
$E(Y_i) = 0 \times P(Y_i = 0) +1 \times P(Y_i = 1) = \frac{25}{100} = 0,25$

La variance de $Y_i$ est calculée comme suit :
$V(Y_i) = E(Y_i^2) - (E(Y_i))^2$
or :
$E(Y_i^2) = 0^2 \times P(Y_i = 0) +1^2 \times P(Y_i = 1) = 0,25$
donc :
$V(Y_i) = 0,25 - 0,25^2 = 0,1875$
L'espérance de $M_n$ est :
$E(M_n) = E \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Y_i) = \frac{1}{n} \times n \times 0,25 = 0,25$

Si l'on considère que les tirages sont indépendants, la variance de $M_n$ est :
$V(M_n) = V \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Y_i) = \frac{1}{n^2} \times n \times 0,1875 = \frac{0,1875}{n}$
Utilisons l'inégalité de concentration :
$P(|M_n - E(M_n)| \geqslant 0,1) \leqslant \frac{V(M_n)}{0,1^2}$

Nous voulons que cette probabilité soit inférieure à 0,05 :
$\frac{V(M_n)}{0,01} \leqslant 0,05$
$V(M_n) \leqslant 0,05 \times 0,01 = 0,0005$

Sachant que :
$V(M_n) = \frac{0,1875}{n}$

Nous devons avoir :
$\frac{0,1875}{n} \leqslant 0,0005$
$n \geqslant \frac{0,1875}{0,0005} = 375$

Donc, le nombre minimal de tirages $n$ pour que la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de 0,1 soit inférieure à 0,05 est de 375.