Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Sections de surfaces - Bac S Pondichéry 2011

Exercice 2

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère, dans un repère (O;i,j,k)\left(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) de l'espace, la surface (S) d'équation :

z=(xy)2z=\left(x - y\right)^{2}

  1. On note (E1) l'intersection de (S) avec le plan (P1) d'équation z=0z=0.

    Déterminer la nature de (E1).

  2. On note (E2) l'intersection de (S) avec le plan (P2) d'équation x=1x=1. Déterminer la nature de (E1).

Partie B

On considère, dans un repère (O;i,j,k)\left(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) de l'espace, la surface (S') d'équation :

z=xyz=xy.

  1. On note (E3) l'intersection de (S') avec le plan (P1) d'équation z=0z=0.

    Déterminer la nature de (E3)

  2. On note (E4) l'intersection de (S') avec le plan (P3) d'équation z=1z=1.

    Déterminer la nature de (E4).

Partie C

On note (E5) l'intersection de (S) et de (S').

Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à (E5) dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).

On suppose qu'il existe un point M appartenant à (E5) et dont les coordonnées xx, yy et zz sont des entiers naturels.

  1. Montrer que si x=0x=0, alors le point M est le point O.

  2. On suppose dorénavant que l'entier xx n'est pas nul.

    1. Montrer que les entiers xx, yy et zz vérifient x23xy+y2=0x^{2} - 3xy+y^{2}=0.

      En déduire qu'il existe alors des entiers naturels xx^{\prime} et yy^{\prime} premiers entre eux tels que x23xy+y2=0x^{\prime 2} - 3x^{\prime}y^{\prime}+y^{\prime 2}=0.

    2. Montrer que xx^{\prime} divise y2y^{\prime 2}, puis que xx^{\prime} divise yy^{\prime}.

    3. Établir que yy^{\prime} vérifie la relation 13y+y2=01 - 3y^{\prime}+y^{\prime 2}=0.

    4. Conclure.