Exercice corrigéExercice 3
4 points- Commun à tous les candidats
Dans un repère orthonormé de l'espace \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) on considère les points :
A de coordonnées (1,1,0) , B de coordonnées (2,0,3) , C de coordonnées (0,-2,5) et D de coordonnées (1,-5,5).
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :
Proposition 1 : L'ensemble des points M de coordonnées \left(x,y,z\right) tels que y=2x +4 est une droite.
Proposition 2 : La transformation qui, à tout point M de l'espace associe le point M^{\prime} tel que \overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} est l'homothétie de centre G, où G désigne le barycentre du système \left\{\left(A,1\right), \left(B,1\right), \left(C,2\right)\right\} , et de rapport 3.
Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.
Proposition 4 : La sphère de centre \Omega de coordonnées (3,3,0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : 2x+2y+z+3=0.
Corrigé
Proposition 1 : FAUX
L'équation y=2x +4 peut aussi s'écrire 2x -y +4=0. Elle est de la forme ax +by +cz +d=0 avec a=2, b=-1, c=0 et d=4.
C'est l'équation d'un plan
Proposition 2 : FAUX
\overrightarrow{GM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}
\overrightarrow{GM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+ 2\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{GC}
\overrightarrow{GM^{\prime}}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+ 2\overrightarrow{GC}=-3\overrightarrow{GM}
donc M^{\prime} est l'image de M par l'homothétie de centre G et de rapport -3.
Proposition 3 : FAUX
\overrightarrow{AB} \ \left(1;-1;3\right)
\overrightarrow{AC} \ \left(-1;-3;5\right)
\overrightarrow{AD} \ \left(0;-6;5\right)
On recherche des réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{AD}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}.
ce qui donne le système:
\left\{ \begin{matrix} \alpha -\beta =0 \\ -\alpha -3\beta =-6 \\ 3\alpha +5\beta =5 \end{matrix}\right.
Soit
\left\{ \begin{matrix} \alpha =\beta \\ -4\alpha =-6 \\ 8\alpha =5 \end{matrix}\right.
Ce système n'a pas de solution. Les points ne sont dons pas coplanaires.
Proposition 4 : VRAI
La sphère de centre \Omega de coordonnées (3,3,0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : 2x+2y+z+3=0 si et seulement si la distance de \Omega au plan est égale à 5.
Or cette distance vaut (voir cours) :
d=\frac{|2\times 3+2\times 3+0+3|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{9}}=5
La sphère de centre \Omega de coordonnées (3,3,0) et de rayon 5 est donc tangente au plan d'équation : 2x+2y+z+3=0.