Nombres complexes et suites - Bac S Pondichéry 2009
Exercice 2
5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d'affixes respectives zA=i et zB=1+2i.
Justifier qu'il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O)=A et S(A)=B.
Montrer que l'écriture complexe de S est:
z′=(1−i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera Ω le centre de S).
On considère la suite de points (An) telle que:
• A0 est l'origine du repère et,
• pour tout entier naturel n, An+l=S(An).
On note zn, l'affixe de An (On a donc A0=O, A1=A et A2=B).
Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=1−(1−i)n.
Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs ΩAn et AnAn+1.
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle (ΩAn,AnAn+1).
En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An.
Construire les points A3 et A4.
Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (ΩB) ?
On sait que si A≠A′ et B≠B′, il existe une unique similitude directe S transformant A en A′ et B en B′. Comme O≠A et A≠B, il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O)=A et S(A)=B.
L'écriture complexe de S est de la forme :
z′=az+b
Comme S(O)=A, zA=a×0+b donc b=i
Comme S(A)=B, zB=azA+i donc 1+2i=ai+i soit :
a=i1+i=1−i
L'expression complexe de S est donc :
z′=(1−i)z+i
Le rapport de la similitude S est :
R=∣1−i∣=√2
L'angle de la similitude S est :
θ=arg(1−i)=arg(√2[2√2−2√2i])
θ=arg(√2[cos(−4π)+isin(−4π)])=−4π [2π]
Ω(ω) le centre de S est le point invariant de S donc :
ω=(1−i)ω+i
iω=i
ω=1
S est donc la similitude directe de centre Ω(1), de rapport √2 et d'angle −4π
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, zn=1−(1−i)n.
Initialisation
Cette propriété est vraie pour n=0; en effet z0 est l'affixe de O dons z0=0 et
1−(1−i)0=1−1=0
Hérédité
Supposons zn=1−(1−i)n pour un certain entier n fixé.
zn+1=(1−i)zn+i=(1−i)[1−(1−i)n]+i
zn+1≡(1−i)−(1−i)(1−i)n+i=1−(1−i)n+1
ce qui prouve bien l'hérédité.
Donc, pour tout entier naturel n, zn=1−(1−i)n.
zΩAn=zn−ω=1−(1−i)n−1=−(1−i)n
zAnAn+1=1−(1−i)n+1−[1−(1−i)n]=(1−i)n−(1−i)n+1
zAnAn+1=(1−i)n[1−(1−i)]=i(1−i)n.
∣∣ΩAn∣∣=∣−(1−i)n∣=∣1−i∣n=√2n
∣∣AnAn+1∣∣=∣i(1−i)n∣=∣1−i∣n=√2n
donc ∣∣ΩAn∣∣=∣∣AnAn+1∣
De plus
(ΩAn,AnAn+1)=arg(−(1−i)ni(1−i)n)=arg(−i)=−2π [2π]
De la question précédente on déduit que :
(AnΩ,AnAn+1)=2π [2π]
An+1 est l'image de An par la rotation de centre Ω d'angle 2π , c'est à dire que le triangle AnΩAn+1 est rectangle isocèle en An de sens direct.
An appartient à la droite (ΩB) si et seulement si :
(ΩAn,ΩB)=0 [π]
c'est à dire comme B=A2 si et seulement si :
arg((1−i)2(1−i)n)=0 [π]
arg((1−i)n−2)=0 [π]
(n−2)×−4π=0 [π]
(n−2)×4π=0 [π]
(n−2)×4π=kπ (k∈Z)
n−2=4k
n=4k+2
Donc (An) appartient à la droite (ΩB) si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 2 ( n∈{2;6;10;14;...} )
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