On sait que si $A\neq A^{\prime}$ et $B\neq B^{\prime}$, il existe une unique similitude directe $S$ transformant $A$ en $A^{\prime}$ et $B$ en $B^{\prime}$. Comme $O\neq A$ et $A\neq B$, il existe une unique similitude directe $S$ telle que :

$S\left(O\right)=A$ et $S\left(A\right)=B$.

L'écriture complexe de $S$ est de la forme :

$z^{\prime}=az+b$

Comme $S\left(O\right)=A$, $z_{A}=a\times 0+b$ donc $b=i$

Comme $S\left(A\right)=B$, $z_{B}=az_{A}+i$ donc $1+2i=ai+i$ soit :

$a=\frac{1+i}{i}=1 - i$

L'expression complexe de $S$ est donc :

$z^{\prime}=\left(1 - i\right)z+i$

Le rapport de la similitude $S$ est :

$R=|1 - i|=\sqrt{2}$

L'angle de la similitude $S$ est :

$\theta =\text{arg}\left(1 - i\right)=\text{arg}\left(\sqrt{2}\left[\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right]\right)$

$\theta =\text{arg}\left(\sqrt{2}\left[\cos\left( - \frac{\pi }{4}\right)+i\sin\left( - \frac{\pi }{4}\right)\right]\right)= - \frac{\pi }{4}\ \left[2\pi \right]$

$\Omega \left(\omega \right)$ le centre de $S$ est le point invariant de $S$ donc :

$\omega =\left(1 - i\right)\omega +i$

$i \omega =i$

$\omega =1$

$S$ est donc la similitude directe de centre $\Omega \left(1\right)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \frac{\pi }{4}$

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $z_{n}=1 - \left(1 - i\right)^{n}$.

   Initialisation
   Cette propriété est vraie pour $n=0$; en effet $z_{0}$ est l'affixe de $O$ dons $z_{0}=0$ et

   $1 - \left(1 - i\right)^{0}=1 - 1=0$

   Hérédité
   Supposons $z_{n}=1 - \left(1 - i\right)^{n}$ pour un certain entier $n$ fixé.

   $z_{n+1}=\left(1 - i\right)z_{n}+i=\left(1 - i\right)\left[1 - \left(1 - i\right)^{n}\right]+i$

   $z_{n+1}\equiv \left(1 - i\right) - \left(1 - i\right)\left(1 - i\right)^{n}+i=1 - \left(1 - i\right)^{n+1}$

   ce qui prouve bien l'hérédité.

   Donc, pour tout entier naturel $n$, $z_{n}=1 - \left(1 - i\right)^{n}$.

2. $z_{\overrightarrow{\Omega A_{n}}}=z_{n} - \omega =1 - \left(1 - i\right)^{n} - 1= - \left(1 - i\right)^{n}$

   $z_{\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}}=1 - \left(1 - i\right)^{n+1} - \left[1 - \left(1 - i\right)^{n}\right]=\left(1 - i\right)^{n} - \left(1 - i\right)^{n+1}$

   $z_{\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}}=\left(1 - i\right)^{n}\left[1 - \left(1 - i\right)\right]=i\left(1 - i\right)^{n}$.

   $||\overrightarrow{\Omega A_{n}}||=| - \left(1 - i\right)^{n}|=|1 - i|^{n}=\sqrt{2}^{n}$

   $||\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}||=|i\left(1 - i\right)^{n}|=|1 - i|^{n}=\sqrt{2}^{n}$

   donc $||\overrightarrow{\Omega A_{n}}||=||\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}|}$

   De plus

   $\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}}, \overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}\right)=\text{arg}\left(\frac{i\left(1 - i\right)^{n}}{ - \left(1 - i\right)^{n}}\right)=\text{arg}\left( - i\right)= - \frac{\pi }{2}\ \left[2\pi \right]$

3. De la question précédente on déduit que :

   $\left(\overrightarrow{A_{n} \Omega }, \overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}\right)=\frac{\pi }{2}\ \left[2\pi \right]$

   $A_{n+1}$ est l'image de $A_{n}$ par la rotation de centre $\Omega$ d'angle $\frac{\pi }{2}$ , c'est à dire que le triangle $A_{n} \Omega A_{n+1}$ est rectangle isocèle en $A_{n}$ de sens direct.

   

$A_{n}$ appartient à la droite $\left(\Omega B\right)$ si et seulement si :

$\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}}, \overrightarrow{\Omega B}\right)=0 \ \left[\pi \right]$

c'est à dire comme $B=A_{2}$ si et seulement si :

$\text{arg}\left(\frac{\left(1 - i\right)^{n}}{\left(1 - i\right)^{2}}\right)=0\ \left[\pi \right]$

$\text{arg}\left(\left(1 - i\right)^{n - 2}\right)=0\ \left[\pi \right]$

$\left(n - 2\right)\times - \frac{\pi }{4}=0\ \left[\pi \right]$

$\left(n - 2\right)\times \frac{\pi }{4}=0\ \left[\pi \right]$

$\left(n - 2\right)\times \frac{\pi }{4}=k\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$n - 2=4k$

$n=4k+2$

Donc $\left(A_{n}\right)$ appartient à la droite $\left(\Omega B\right)$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 est 2 ( $n\in \left\{2; 6; 10; 14; . . .\right\}$ )