Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u} ,\vec{v}\right)$. On prendra pour unité graphique 2 cm.

Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives :

$a=3 - i$, $b=1 - 3i$ et $c= - 1 - i$.

1. 1. Voir la figure terminée en bas du corrigé

   2. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en B. En effet :

      $BA=|a - b|=|2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

      $BC=|c - b|=| - 2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

      $AC=|c - a|=| - 4|=4$

      Donc $BA=BC$ et $AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}=16$ et le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en B.

   3. $OA=|a|=\sqrt{10}$

      $OB=|b|=\sqrt{10}$

      Donc les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre $O$, de rayon $\sqrt{10}$.

2. Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de $A$ dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\frac{\pi }{2}$.

   1. L'écriture complexe de $r$ est donnée par la formule :

      $z^{\prime}=e^{i\theta }\left(z - \omega \right)+\omega$

      ce qui devient ici :

      $z^{\prime}=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(z - m\right)+m$

      $z^{\prime}=iz+m - mi$

   2. Comme $N$ est image de $A$ dans la rotation $r$ :

      $n=i\left(3 - i\right)+m - mi=1+m+3i - mi$

3. $Q$ est le milieu du segment $\left[AN\right]$ donc :

   $q=\frac{1}{2}\left(a+n\right)=\frac{1}{2}\left(3 - i+1+m+3i - mi\right)=\frac{\left(1 - i\right)m}{2}+2+i$

4. 1. Si $M$ est un point du cercle $\Gamma$ d'affixe $m$, le module de $m$ est $OM=\sqrt{10}$ d'après 1. c..

      Si on note $\theta$ un argument de $m$, on a bien : $m=\sqrt{10}e^{i\theta }$.

   2. $|q - 2 - i|=\left|\frac{\left(1 - i\right)m}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}|m|$.

      Donc :

      $|m|=\sqrt{10} \Leftrightarrow |q - 2 - i|=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{10}=\sqrt{5}$

      Donc $Q$ est sur le cercle de $\Gamma ^{\prime}$ de centre $\Omega \left(2+i\right)$ et de rayon $\sqrt{5}$.

      Réciproquement, soit $Q$ un point de $\Gamma ^{\prime}$ ; son affixe vérifie $|q - 2 - i|=\sqrt{5}$

      $Q$ est l'image (par la construction de l'énoncé) du point $M$ d'affixe $m=\frac{2\left(q - 2 - i\right)}{1 - i}$ (obtenu à partir de la relation $q=\left(1 - i\right)\frac{m}{2}+2+i$) qui est bien sur le cercle $\Gamma$ puisque $|q - 2 - i|=\sqrt{5} \Rightarrow |m|=\sqrt{10}$. Donc tout point de $\Gamma ^{\prime}$ est l'image d'un point $M$ de $\Gamma$.

      Le lieu de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ est donc le cercle $\Gamma ^{\prime}$ de centre $\Omega \left(2+i\right)$ et de rayon $\sqrt{5}$.