Proposition 1 : FAUX

L'équation $y=2x +4$ peut aussi s'écrire $2x - y +4=0$. Elle est de la forme $ax +by +cz +d=0$ avec $a=2$, $b= - 1$, $c=0$ et $d=4$.

C'est l'équation d'un plan

Proposition 2 : FAUX

$\overrightarrow{GM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$

$\overrightarrow{GM^{\prime}}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+ 2\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{GC}$

$\overrightarrow{GM^{\prime}}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+ 2\overrightarrow{GC}= - 3\overrightarrow{GM}$

donc $M^{\prime}$ est l'image de $M$ par l'homothétie de centre $G$ et de rapport -3.

Proposition 3 : FAUX

$\overrightarrow{AB} \ \left(1; - 1;3\right)$

$\overrightarrow{AC} \ \left( - 1; - 3;5\right)$

$\overrightarrow{AD} \ \left(0; - 6;5\right)$

On recherche des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{AD}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$.

ce qui donne le système:

$\left\{ \begin{matrix} \alpha - \beta =0 \\ - \alpha - 3\beta = - 6 \\ 3\alpha +5\beta =5 \end{matrix}\right.$

Soit

$\left\{ \begin{matrix} \alpha =\beta \\ - 4\alpha = - 6 \\ 8\alpha =5 \end{matrix}\right.$

Ce système n'a pas de solution. Les points ne sont dons pas coplanaires.

Proposition 4 : VRAI

La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3,3,0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+2y+z+3=0$ si et seulement si la distance de $\Omega$ au plan est égale à 5.

Or cette distance vaut (voir cours) :

$d=\frac{|2\times 3+2\times 3+0+3|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{9}}=5$

La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3,3,0) et de rayon 5 est donc tangente au plan d'équation : $2x+2y+z+3=0$.