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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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QCM Nombres complexes Géométrie dans l'espace - Bac S Liban 2008

Exercice 2

5 points - Commun à tous les candidats

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right).

  1. Soit z un nombre complexe d'argument π3\frac{\pi }{3}

    Proposition 1 : « z100z^{100} est un nombre réel ».

  2. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que z1z=1 \left| \frac{z}{1 - z} \right|=1

    Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ».

  3. Soit r la rotation d'angle π2 - \frac{\pi }{2} et dont le centre K a pour affixe 1+i31+i \sqrt{3} .

    Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe (13)+i(1+3)\left(1 - \sqrt{3} \right)+ i \left(1+\sqrt{3}\right) ».

  4. On considère l'équation (E) suivante : z2+2cos(π5)z+1=0z^{2} +2\cos\left(\frac{\pi }{5}\right)z+1=0

    Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.

Fonction

Proposition 5 : « le vecteur AG\overrightarrow{AG} est normal au plan (BDE) ».

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

Corrigé

  1. Proposition 1 : « z100z^{100} est un nombre réel ». FAUX

    z100=(eiπ3)100=ei100π3=ei96π3×ei4π3z^{100}=\left(e^{i\frac{\pi }{3}}\right)^{100}=e^{i\frac{100\pi }{3}}=e^{i\frac{96\pi }{3}}\times e^{i\frac{4\pi }{3}}

    z100=ei(32π)×(cos4π3+isin4π3)=1×(1232i)=1232iz^{100}=e^{i\left(32\pi \right)}\times \left(\cos\frac{4\pi }{3}+i\sin\frac{4\pi }{3}\right)=1\times \left( - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)= - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i

  2. z1z=1\left|\frac{z}{1 - z}\right|=1

    Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ». FAUX

    Soit I le point d'affixe 1,

    z1z=1z=1zOM=IM\left|\frac{z}{1 - z}\right|=1\Leftrightarrow |z|=|1 - z| \Leftrightarrow OM=IM

    L'ensemble (E) est la médiatrice de [OI]. C'est une droite parallèle à l'axe des imaginaires purs (et non à l'axe des réels).

  3. Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe (13)+i(1+3)\left(1 - \sqrt{3} \right)+ i \left(1+\sqrt{3}\right) ». VRAI

    Soit zkz_{k} l'affixe de K et zz^{\prime} l'affixe de r(O):

    zzk=eiπ2×(0zk)z^{\prime} - z_{k}=e^{ - i\frac{\pi }{2}}\times \left(0 - z_{k}\right)

    Donc:

    z=izk+zk=i(1+i3)+1+i3z^{\prime}=iz_{k}+z_{k}=i\left(1+i \sqrt{3}\right)+1+i \sqrt{3} =(13)+i(1+3)=\left(1 - \sqrt{3} \right)+ i \left(1+\sqrt{3}\right)

  4. Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ». VRAI

    Δ=4cos2(π5)4=4(cos2(π5)1)\Delta =4\cos^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right) - 4=4\left(\cos^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right) - 1\right) =4sin2(π5)=(2isin(π5))2= - 4\sin^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right)=\left(2i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)\right)^{2}

    Donc

    z1=2cos(π5)2isin(π5)2z_{1}=\frac{ - 2\cos\left(\frac{\pi }{5}\right) - 2i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)}{2} =cos(π5)isin(π5)=eiπ5= - \cos\left(\frac{\pi }{5}\right) - i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)= - e^{i\frac{\pi }{5}}

    et z2=z1z_{2}=\overline{z_{1}}

    z2=z1=eiπ5=eiπ5=1|z_{2}|=|z_{1}|=| - e^{i\frac{\pi }{5}}|=|e^{i\frac{\pi }{5}}|=1

  5. Proposition 5 : « le vecteur AG\overrightarrow{AG} est normal au plan (BDE) ». VRAI

    AG.BD=(AC+CG).BD=AC.BD+CG.BD\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}\right).\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}

    Or:

    AC.BD=0\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0 car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires

    CG.BD=0\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}=0 car la droite (CG) est orthogonale au plan (ABCD)

    Donc : AG.BD=0\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=0

    On montre de même que

    AG.DE=(AH+HG).DE=AH.DE+HG.DE=0\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{DE}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}\right).\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{HG}.\overrightarrow{DE}=0

    Le vecteur AG\overrightarrow{AG} est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE) donc est normal au plan (BDE)

  6. Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ». FAUX

    EB.ED=(EA+AB)(EA+AD)=EA2+EA.AD+AB.EA+AB.AD\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{ED}=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{EA}^{2}+\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}

    EB.EDEA2+0+0+0=EA20\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{ED}\equiv EA^{2}+0+0+0=EA^{2}\neq 0

    Donc les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires