Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $\left] - \infty ; +\infty \right[$. On donne le tableau de ses variations :

Soit $g$ la fonction définie sur $\left] - \infty ; +\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt$.

Partie A

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).

2. 1. Interpréter graphiquement $g\left(2\right)$.

   2. Montrer que $0 \leqslant g\left(2\right) \leqslant 2,5$.

3. 1. Soit x un réel supérieur à 2.

      Montrer que $\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt\geqslant x - 2$. En déduire que $g\left(x\right) \geqslant x - 2$.

   2. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left] - \infty ;+\infty \right[$.

Partie B

On admet que pour tout réel t, $f\left(t\right)=\left(t - 1\right)e^{ - t} +1$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l'intégrale

   $\int_{0}^{x}\left(t - 1\right)e^{ - t}dt$

2. En déduire que pour tout réel x, $g\left(x\right)=x\left(1 - e^{ - x}\right)$.

3. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $- \infty$