Proposition 1 : « $z^{100}$ est un nombre réel ». FAUX

$z^{100}=\left(e^{i\frac{\pi }{3}}\right)^{100}=e^{i\frac{100\pi }{3}}=e^{i\frac{96\pi }{3}}\times e^{i\frac{4\pi }{3}}$

$z^{100}=e^{i\left(32\pi \right)}\times \left(\cos\frac{4\pi }{3}+i\sin\frac{4\pi }{3}\right)=1\times \left( - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)= - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\left|\frac{z}{1 - z}\right|=1$

Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ». FAUX

Soit I le point d'affixe 1,

$\left|\frac{z}{1 - z}\right|=1\Leftrightarrow |z|=|1 - z| \Leftrightarrow OM=IM$

L'ensemble (E) est la médiatrice de [OI]. C'est une droite parallèle à l'axe des imaginaires purs (et non à l'axe des réels).

Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe $\left(1 - \sqrt{3} \right)+ i \left(1+\sqrt{3}\right)$ ». VRAI

Soit $z_{k}$ l'affixe de K et $z^{\prime}$ l'affixe de r(O):

$z^{\prime} - z_{k}=e^{ - i\frac{\pi }{2}}\times \left(0 - z_{k}\right)$

Donc:

$z^{\prime}=iz_{k}+z_{k}=i\left(1+i \sqrt{3}\right)+1+i \sqrt{3}$$=\left(1 - \sqrt{3} \right)+ i \left(1+\sqrt{3}\right)$

Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ». VRAI

$\Delta =4\cos^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right) - 4=4\left(\cos^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right) - 1\right)$$= - 4\sin^{2}\left(\frac{\pi }{5}\right)=\left(2i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)\right)^{2}$

Donc

$z_{1}=\frac{ - 2\cos\left(\frac{\pi }{5}\right) - 2i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)}{2}$ $= - \cos\left(\frac{\pi }{5}\right) - i\sin\left(\frac{\pi }{5}\right)= - e^{i\frac{\pi }{5}}$

et $z_{2}=\overline{z_{1}}$

$|z_{2}|=|z_{1}|=| - e^{i\frac{\pi }{5}}|=|e^{i\frac{\pi }{5}}|=1$

Proposition 5 : « le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan (BDE) ». VRAI

$\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}\right).\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}$

Or:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$ car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires

$\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BD}=0$ car la droite (CG) est orthogonale au plan (ABCD)

Donc : $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=0$

On montre de même que

$\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{DE}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}\right).\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{HG}.\overrightarrow{DE}=0$

Le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE) donc est normal au plan (BDE)

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ». FAUX

$\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{ED}=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{EA}^{2}+\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{ED}\equiv EA^{2}+0+0+0=EA^{2}\neq 0$

Donc les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires