Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Partie A.

Démonstration de cours

Prérequis : définition d'une suite tendant vers $+\infty$. « une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs A»

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x^{2}$ .

La courbe (C) représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique.

Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$u_{0}=1$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$

1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique précédent).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son comportement lorsque n tend vers $+\infty$ ?

3. 1. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, $u_{n}\geqslant 1$.

   2. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

   3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas majorée.

   4. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.