Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; 3] par

On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur ]0 ; 3], on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde $f^{\prime \prime}$ est définie sur ]0 ; 3] par : $f^{\prime \prime}(x) = - 1 - 2 \ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Sur ]0 ; 3], $\mathscr{C}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :

   a.   e
   b.   2,72
   c.   $\dfrac{1}{2}\text{e} + 1$

2. $\mathscr{C}$ admet un point d'inflexion d'abscisse :

   a.   e
   b.   $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$
   c.   $\sqrt{\text{e}}$

3. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 3] on a :

   a.   $f^{\prime}(x) = x(1 - 2\ln x)$
   b.   $f^{\prime}(x)= - \dfrac{2}{x}$
   c.   $f^{\prime}(x) = - 2$

4. Sur l'intervalle [1 ; 3] :

   a.  $f$ est convexe
   b.   $f$ est décroissante
   c.   $f^{\prime}$ est décroissante

5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse e s'écrit :

   a.   $y= - x+ \text{e}$
   b.   $y= - \text{e}x$
   c.   $y = - \text{e}x + \text{e}^2$