Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,001 près.

Partie A

Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et l'entreprise a montré que :

• 40 % des employés du service A résident à moins de 30 minutes de l'entreprise ;

• 20 % des employés du service B résident à moins de 30 minutes de l'entreprise ;

• 80 % des employés du service C résident à moins de 30 minutes de l'entreprise.

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

• $A$ : « l'employé fait partie du service A » ;

• $B$ : « l'employé fait partie du service B » ;

• $C$ : « l'employé fait partie du service C » ;

• $T$ : « l'employé réside à moins de 30 minutes de l'entreprise ».

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité d'un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

1. 1. Justifier que $P(A) = 0,45$.

   2. Donner $P_A(T)$.

   3. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.

2. Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail.

3. Montrer que $P(T) = 0,482$.

4. Sachant qu'un employé de l'entreprise réside à plus de $30$ minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service C.

5. On choisit successivement de manière indépendante $5$ employés de l'entreprise. On considère que le nombre d'employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise.

   Déterminer la probabilité qu'exactement $2$ d'entre eux résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail.

Partie B

1. Calculer la probabilité que le trajet dure entre 20 minutes et 40 minutes.

2. Déterminer$P(X > 50)$.

3. À l'aide de la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée du nombre $a$ à l'unité près, tel que $P(X > a) = 0,2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Quel est le nombre minimal d'employés à consulter ?