Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :

• la fonction $f$ définie sur [0 ; 14] par

  $f(x) = 2~000\text{e}^{ - 0,2x}$

  pour le produit A ;

• la fonction $g$ définie sur [0 ; 14] par

  $g (x)= 15x^2 + 50 x$

  pour le produit B, où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.

Leurs courbes représentatives respectives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont données ci-dessous.

Partie A

Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :

1. Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.

2. L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à 3 000 tonnes.

   Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte ?

Partie B

Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.

On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0 ; 14].

1. 1. Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?

   2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 14] $h^{\prime}(x) = - 400\text{e}^{ - 0,2x} + 30x + 50$.

2. On admet que le tableau de variation de la fonction $h^{\prime}$ sur l'intervalle [0 ; 14] est :

   

   1. Justifier que l'équation $h^{\prime}(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0 ; 14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.

   2. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0 ; 14].

3. Voici un algorithme :

   

   1. Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?

   2. En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que X contienne une valeur approchée à $0,001$ près de a après l'exécution de l'algorithme.

4. 1. Vérifier qu'une primitive $H$ de la fonction $h$ sur [0 ; 14] est :

      $H(x) = - 10~000 \text{e}^{ - 0,2x} + 5x^3 + 25x^2.$

   2. Calculer une valeur approchée à l'unité près de $\dfrac{1}{12} \displaystyle\int_0^{12} h(x)\:\text{d}x$.

   3. Donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.