Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination "compote allégée".

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

L'entreprise possède deux chaînes de fabrication $F_{1}$ et $F_{2}$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

La chaîne de production $F_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production $F_{1}$. Elle est cependant moins rapide.

Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaîne $F_{1}$ et 30% de la chaîne $F_{2}$.

La chaîne $F_{1}$ produit 5% de compotes non conformes et la chaîne $F_{2}$ en produit 1%.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :

$E$ : "Le petit pot provient de la chaîne $F_{2}$"

$C$ : "Le petit pot est conforme."

1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2. Calculer la probabilité de l'évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production $F_{1}$."

3. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$.

4. Déterminer, à $10^{ - 3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.

Partie B

1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$, associe sa teneur en sucre.

   On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m_{1}=0,17$ et d'écart-type $\sigma _{1}=0,006$.

   Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

   $\alpha$	$\beta$	$P\left(\alpha \leqslant X\leqslant \beta \right)$
   0,13	0,15	0,0004
   0,14	0,16	0,0478
   0,15	0,17	0,4996
   0,16	0,18	0,9044
   0,17	0,19	0,4996
   0,18	0,20	0,0478
   0,19	0,21	0,0004

   Donner une valeur approchée à $10^{ - 4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$ soit conforme.

2. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$, associe sa teneur en sucre.

   On suppose que $Y$ suit la loi normale d'espérance $m_{2}=0,17$ et d'écart-type $\sigma _{2}$.

   On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.

   Soit Z la variable aléatoire définie par $Z=\frac{Y - m_{2}}{\sigma _{2}}$.

   1. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?

   2. Déterminer, en fonction de $\sigma _{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle $\left[0,16 ; 0,18\right]$.

   3. En déduire une valeur approchée à $10^{ - 3}$ près de $\sigma _{2}$.

      On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.

   $\beta$	$P\left( - \beta \leqslant Z\leqslant \beta \right)$
   2,4324	0,985
   2,4573	0,986
   2,4838	0,987
   2,5121	0,988
   2,5427	0,989
   2,5758	0,990
   2,6121	0,991
   2,6521	0,992
   2,6968	0,993