Probabilités - Bac S Centres étrangers 2018
Exercice 3 (7 points)
Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes
Un détaillant en fruits et légumes étudie l'évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.
Partie A
Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre g et 1 200 g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ».
Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C.
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle , où est un nombre réel supérieur à 1 200.
La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 1 050 et d'écart-type inconnu .
Le maraîcher C affirme, quant à lui, que 80 % des melons de sa production sont conformes.
Le détaillant constate que 75 % des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer .
Il constate que 85 % des melons fournis par le maraîcher B sont conformes.
Déterminer l'écart-type de la variable aléatoire . En donner la valeur arrondie à l'unité.
Le détaillant doute de l'affirmation du maraîcher C. Il constate que sur melons livrés par ce maraîcher au cours d'une semaine, seulement sont conformes.
Le détaillant a-t-il raison de douter de l'affirmation du maraîcher C ?
Partie B
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :
parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90 % d'entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60 % d'entre eux n'achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour , on note l'événement : « le client achète un melon au cours de la semaine ».
On a ainsi .
Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
Démontrer que .
Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ?
Arrondir au centième.
Dans la suite, on pose pour tout entier : .
On a ainsi .Démontrer que, pour tout entier : .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier : .
Démontrer que la suite est décroissante.
La suite est-elle convergente ?
On pose pour tout entier : .
Démontrer que est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
Exprimer en fonction de .
En déduire que, pour tout , .
Déterminer la limite de la suite .