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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Géométrie dans l'espace - Bac S Centres étrangers 2018

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques »

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH.

Géométrie dans l'espace Section d'un cube

Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :

Partie A

  1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

  2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé (A ; AB,AD,AE)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right).

    1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

    2. Déterminer les réels aa et bb tels que le vecteur n(4 ; a ; b)\overrightarrow{n} (4~;~a~;~b) soit orthogonal aux vecteurs IJ\overrightarrow{\text{IJ}} et IK\overrightarrow{\text{IK}}.

    3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : 4x6y4z+3=04x - 6y - 4z + 3 = 0.

    1. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

    2. Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).

    3. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).

On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points M(x ; y ; z)M(x~;~y~;~z) tels que :

{0<x<10<y<10<z<1\left\{\begin{array}{l} 0 < x < 1\\ 0 < y < 1\\ 0 < z < 1 \end{array}\right.

Le point R est-il à l'intérieur du cube ?


Annexe

(À rendre avec la copie)

Géométrie dans l'espace Section d'un cube