Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques »

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH.

Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :

• I est le milieu du segment [AD] ;

• J est tel que $\overrightarrow{\text{AJ}} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{\text{AE}}$ ;

• K est le milieu du segment [FG].

Partie A

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

1. 1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\overrightarrow{n} (4~;~a~;~b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}$.

   3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $4x - 6y - 4z + 3 = 0$.

2. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

   2. Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).

   3. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).

On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que :

Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

Annexe