Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{ - 3}$ près.

1. Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée $X$, qui suit la loi normale de moyenne $40,5$ et d'écart type $12$.

   1. Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre $30$ et $35$ ans.

   2. Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans.

2. Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que $75\%$ des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.

   Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $1 000$ demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.

   1. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de prêts acceptés par la banque.

   2. Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les $1 000$ dernières demandes effectuées, $600$ demandes ont été acceptées.

      Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance $95\%$.

   3. Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ?