Exercice 4   (5 points)

Commun à tous les candidats On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

Partie A

On suppose que $f$ est de la forme $f\left(x\right)=\left(b - x\right)e^{ax}$ où $a$ et $b$ désignent deux constantes.

On sait que :

• Les points $A\left(0 ; 2\right)$ et $D\left(2 ; 0\right)$ appartiennent à la courbe $C_{f}$.

• La tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f\left(2\right)$ et $f^{\prime}\left(0\right)$.

2. Calculer $f^{\prime}\left(x\right)$.

3. En utilisant les questions précédentes, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système suivant :

   $\left\{ \begin{matrix} b - 2=0 \\ ab - 1=0 \end{matrix}\right.$

4. Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $f\left(x\right)$.

Partie B

On admet que $f\left(x\right)=\left( - x+2\right) e^{0,5x}$.

1. A l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx$ est comprise entre $2$ et $4$.

2. 1. On considère $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F\left(x\right)=\left( - 2x+8\right)e^{0,5x}$.

      Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

   2. Calculer la valeur exacte de $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx$ et en donner une valeur approchée à $10^{ - 2}$ près.

3. On considère $G$ une autre primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   Parmi les trois courbes $C_{1}, C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de $G$.

   Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.