Division euclidienne - Nombres premiers - PGCD
Exercices
Problème de partage (Brevet Nord 2006)
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(Brevet Groupement Nord 2006)
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis.
Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
- Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes) ?
Expliquer votre raisonnement. - Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
Corrigé
- Pour qu'un partage équitable soit possible, il faut que le nombre de personnes divise le nombre de sucettes et le nombre de bonbons.
Au maximum, ce nombre sera donc égal au PGCD de 84 et 147.
La décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est :
$ 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 $
La décomposition de 147 est :
$ 147 = 3 \times 7 \times 7 $
Le PGCD de 147 et 84 est donc $ 3 \times 7 = 21 $ .
21 personnes au maximum pourront donc bénéficier de ces friandises. $ 84 \div 21 = 4 $
$ 147 \div 21 = 7 $
Chacune des 21 personnes aura alors 4 sucettes et 7 bonbons.