PGCD - Décompte de carreaux (Brevet Besançon 2005)

(Brevet Besançon 2005)

Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
1. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
2. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Corrigé

Solution rédigée par _Orion_ (modifiée pour correspondre aux programmes actuels)

Les décompositions en produit de facteurs premiers de 135 et 210 sont :

$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$
$135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5$

En recherchant les facteurs communs on trouve :
$PGCD(210,135) = 3 \times 5 =15$
1. Comme on souhaite mettre un nombre entier de carreaux, on cherche à ce que la taille du côté de celui-ci soit un diviseur de la largeur mais aussi la hauteur du mur. Comme on cherche également des carreaux de plus grand côté possible cela revient à chercher le PGCD des dimensions du mur qui est 15 cm comme nous avons pu le calculer dans la première question.
2. Il faudra alors (210/15) $\times$ (135/15) = 14 $\times$ 9 = 126 carreaux.