Exercice 4   (5 points)

Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Partie A : préliminaires

1. 1. Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$, tels que :

      $n \equiv N - 1$ modulo $N$.

      Montrer que : $n \times n^{3} \equiv 1$   modulo: $N$.

   2. Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1$ modulo $26$.

      On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $0 \leqslant k \leqslant 25$ et $5k \equiv 1$ modulo $26$ vaut $21$.

2. On donne les matrices : $A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ - 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$.

   1. Calculer la matrice $6A - A^{2}$.

   2. En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{ - 1}$, peut s'écrire sous la forme $A^{ - 1}=\alpha I+\beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on déterminera.

   3. Vérifier que : $B=5A^{ - 1}$.

   4. Démontrer que si $A X=Y$, alors $5X=B Y$

Partie B : procédure de codage

Coder le mot «ET», en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

• Le mot à coder est remplacé par la matrice $X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l'entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :

  A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
  0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

  N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
  13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

• La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$ telle que : $Y =AX$.

• La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R=\begin{pmatrix} r_{1} \\ r_{2} \end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par $26$ et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par $26$.

• Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : « OU» (mot à coder) $\rightarrow X = \begin{pmatrix} 14 \\ 20\end{pmatrix} \rightarrow Y=\begin{pmatrix} 76 \\ 82\end{pmatrix} \rightarrow R=\begin{pmatrix} 24 \\ 4 \end{pmatrix} \rightarrow$ «YE» (mot codé).

Partie C : procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$ telle que : $Y=A X$.

1. Démontrer que :

   $\left\{ \begin{matrix} 5x_{1} = 2y_{1} - y_{2} \\ 5x_{2} = - 3y_{1}+4y_{2} \end{matrix}\right.$

2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que:

   $\left\{ \begin{matrix} x_{1} \equiv 16y_{1}+5y_{2} \\ x_{2} \equiv 15y_{1}+6y_{2} \end{matrix}\right.$ modulo $26$

3. Décoder le mot «QP»