Exercice 4  (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

$A\left(1 ; 2 ; 7\right), B\left(2 ; 0 ; 2\right), C\left(3 ; 1 ; 3\right), D\left(3 ; - 6 ; 1\right)$ et $E\left(4 ; - 8 ; - 4\right).$

1. Montrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. Soit $\vec{u}\left(1 ; b ; c\right)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.

   1. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan $\left(ABC\right)$.

   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$ est : $x - 2 y+z - 4=0$.

   3. Le point $D$ appartient-il au plan $\left(ABC\right)$

3. On considère la droite $\mathscr D$ de l'espace dont une représentation paramétrique est :

   $\left\{ \begin{matrix}x = 2t+3 \\ y = - 4t+5 \\ z = 2t - 1 \end{matrix}\right.$ où $t$ est un nombre réel.

   1. La droite $\mathscr D$ est-elle orthogonale au plan $\left(ABC\right)$ ?

   2. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr D$ et du plan $\left(ABC\right)$

4. Étudier la position de la droite $\left(DE\right)$ par rapport au plan $\left(ABC\right)$