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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Complexes Suites - Bac S Centres étrangers 2014

Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel nn, les nombres complexes zz par :

{z0=16zn+1=1+i2zn\left\{ \begin{matrix} z_{0} = 16 \\ z_{n+1} = \frac{1+i}{2}z_{n}\end{matrix}\right.

pour tout entier naturel nn.

On note rnr_{n} le module du nombre complexe zn:rn=znz_{n}: r_{n} =|z_{n}|.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine OO, on considère les points AnA_{n} d'affixes znz_{n}.

    1. Calculer z1,z2z_{1}, z_{2} et z3z_{3}.

    2. Placer les points A1A_{1} et A2A_{2} sur le graphique ci-dessous, à rendre avec la copie.

      Complexes Suites - Bac S Centres étrangers 2014

    3. Écrire le nombre complexe 1+i2\frac{1+i}{2} sous forme trigonométrique.

    4. Démontrer que le triangle OA1A2A_{1}A_{2} est isocèle rectangle en A1A_{1}.

  1. Démontrer que la suite (rn)\left(r_{n}\right) est géométrique, de raison 22\frac{\sqrt{2}}{2}.

    La suite (rn)\left(r_{n}\right) est-elle convergente ?

    Interpréter géométriquement le résultat précédent.

    On note LnL_{n} la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0A_{0} au point AnA_{n} en passant successivement par les points A1,A2,A3A_{1}, A_{2}, A_{3}, etc.

    Ainsi Ln=i=0n1AiAi+1=A0A11+A1A2++An1An. L_{n}=\sum_{i=0}^{n - 1} A_{i}A_{i+1}= A_{0}A1_{1}+A_{1}A_{2}+\cdots +A_{n - 1}A_{n}.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel nn : AnAn+1=rn+1A_{n}A_{n+1}=r_{n+1}.

    2. Donner une expression de LnL_{n} en fonction de nn.

    3. Déterminer la limite éventuelle de la suite (Ln)\left(L_{n}\right)