Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :

$\left\{ \begin{matrix} z_{0} = 16 \\ z_{n+1} = \frac{1+i}{2}z_{n}\end{matrix}\right.$

pour tout entier naturel $n$.

On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}: r_{n} =|z_{n}|$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

1. 1. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.

   2. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous, à rendre avec la copie.

      

   3. Écrire le nombre complexe $\frac{1+i}{2}$ sous forme trigonométrique.

   4. Démontrer que le triangle O$A_{1}A_{2}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.

2. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

   Interpréter géométriquement le résultat précédent.

   On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.

   Ainsi $L_{n}=\sum_{i=0}^{n - 1} A_{i}A_{i+1}= A_{0}A1_{1}+A_{1}A_{2}+\cdots +A_{n - 1}A_{n}.$

3. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $A_{n}A_{n+1}=r_{n+1}$.

   2. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.

   3. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$