Exercice 4

7 points - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$ par : $g\left(x\right)=\ln\left(x\right)+2x^{2} - 3$.

   Le tableau de variation de la fonction $g$ est donné ci-dessous :

   

   En utilisant une calculatrice, on a obtenu $\alpha \approx 1,19$.

   Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$.

2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\frac{2}{x} - \frac{\ln x}{x}+2x - 5$.

   On note $\left(C_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.

   1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.

   2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

3. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

   1. Calculer $f^{\prime}\left(x\right)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$, on a : $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^{2}}$

   2. En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.

   3. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ pour tout réel $x$ supérieur ou égal à e.

      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

4. Soit h la fonction définie sur $\left]0; +\infty \right[$ par : $h\left(x\right)=\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}$.

   1. Calculer la dérivée $h^{\prime}$ de $h$.

   2. En remarquant que pour tout $x$ de l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$, on a : $f\left(x\right)=\frac{2}{x} - \frac{1}{2} h^{\prime}\left(x\right)+2x - 5$, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0; +\infty \right[$.

   3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=e$ et $x=e^{2}$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).