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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonction logarithme - Calcul d'aire - Bac ES Polynésie française 2008

Exercice 4

7 points - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).

  1. On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par : g(x)=ln(x)+2x23g\left(x\right)=\ln\left(x\right)+2x^{2} - 3.

    Le tableau de variation de la fonction gg est donné ci-dessous :

    Tableau de variation de la fonction g

    En utilisant une calculatrice, on a obtenu α1,19\alpha \approx 1,19.

    Dresser le tableau donnant le signe de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[.

  2. On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par : f(x)=2xlnxx+2x5f\left(x\right)=\frac{2}{x} - \frac{\ln x}{x}+2x - 5.

    On note (Cf)\left(C_{f}\right) la courbe représentative de la fonction ff dans le repère (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).

    1. Déterminer la limite de la fonction ff en 0.

    2. Déterminer la limite de la fonction ff en ++\infty .

  3. On note ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff.

    1. Calculer f(x)f^{\prime}\left(x\right) et montrer que pour tout réel xx de l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[, on a : f(x)=g(x)x2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^{2}}

    2. En déduire le sens de variation de ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[ et dresser son tableau de variations.

    3. Déterminer le signe de f(x)f\left(x\right) pour tout réel xx supérieur ou égal à e.

      Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

  4. Soit h la fonction définie sur ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par : h(x)=(ln(x))2h\left(x\right)=\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}.

    1. Calculer la dérivée hh^{\prime} de hh.

    2. En remarquant que pour tout xx de l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[, on a : f(x)=2x12h(x)+2x5f\left(x\right)=\frac{2}{x} - \frac{1}{2} h^{\prime}\left(x\right)+2x - 5 , trouver une primitive FF de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[.

    3. Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf)\left(C_{f}\right), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=ex=e et x=e2x=e^{2} (on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième).