Exercice 3

4 points-Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.

1. Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.

2. Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal, d'unités graphiques :

   - sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;

   - sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).

   L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel.

   On pose $z=\ln y$.

3. Recopier et compléter le tableau suivant (Les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au millième) :

   Rang $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6
   $z_{i}=\ln y_{i}$	4,605

4. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

   1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

   2. En déduire une approximation de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.

5. On prend l'approximation $y \approx 96 e^{0,104x}$ et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.

   1. Déterminer le plus petit entier n tel que $96 e^{0,104n} \geqslant 250$.

   2. Donner une interprétation du résultat obtenu.