Nombres complexes Lieux géométriques - Bac S Pondichéry 2009

Corrigé

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \left(O; \vec{u} ,\vec{v}\right). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a=3-i, b=1-3i et c=-1-i.

1. 1. Voir la figure terminée en bas du corrigé
   2. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B. En effet :
      BA=|a-b|=|2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
      BC=|c-b|=|-2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
      AC=|c-a|=|-4|=4
      Donc BA=BC et AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}=16 et le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
   3. OA=|a|=\sqrt{10}
      OB=|b|=\sqrt{10}
      Donc les points A et B appartiennent au cercle \Gamma de centre O, de rayon \sqrt{10}.
2. Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée m et N le point d'affixe notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure \frac{\pi }{2}.
   1. L'écriture complexe de r est donnée par la formule :
      z^{\prime}=e^{i\theta }\left(z-\omega \right)+\omega
      ce qui devient ici :
      z^{\prime}=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(z-m\right)+m
      z^{\prime}=iz+m-mi
   2. Comme N est image de A dans la rotation r :
      n=i\left(3-i\right)+m-mi=1+m+3i-mi
3. Q est le milieu du segment \left[AN\right] donc :
   q=\frac{1}{2}\left(a+n\right)=\frac{1}{2}\left(3-i+1+m+3i-mi\right)=\frac{\left(1-i\right)m}{2}+2+i
4. 1. Si M est un point du cercle \Gamma d'affixe m, le module de m est OM=\sqrt{10} d'après 1. c..
      Si on note \theta un argument de m, on a bien : m=\sqrt{10}e^{i\theta }.
   2. |q -2 -i|=\left|\frac{\left(1-i\right)m}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}|m|.
      Donc :
      |m|=\sqrt{10} \Leftrightarrow |q -2 -i|=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{10}=\sqrt{5}
      Donc Q est sur le cercle de \Gamma ^{\prime} de centre \Omega \left(2+i\right) et de rayon \sqrt{5}.
      Réciproquement, soit Q un point de \Gamma ^{\prime} ; son affixe vérifie |q-2-i|=\sqrt{5}
      Q est l'image (par la construction de l'énoncé) du point M d'affixe m=\frac{2\left(q-2-i\right)}{1-i} (obtenu à partir de la relation q=\left(1-i\right)\frac{m}{2}+2+i) qui est bien sur le cercle \Gamma puisque |q-2-i|=\sqrt{5} \Rightarrow |m|=\sqrt{10}. Donc tout point de \Gamma ^{\prime} est l'image d'un point M de \Gamma .
      Le lieu de Q lorsque M décrit le cercle \Gamma est donc le cercle \Gamma ^{\prime} de centre \Omega \left(2+i\right) et de rayon \sqrt{5}.