Exercice 2
5 points-Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \left(O; \vec{u} ,\vec{v}\right). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a=3-i, b=1-3i et c=-1-i.
-
- Placer ces points sur une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
- Quelle est la nature du triangle ABC ?
- Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle \Gamma de centre O, dont on calculera le rayon.
- Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée m et N le point d'affixe notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure \frac{\pi }{2}.
- Donner l'écriture complexe de la rotation r.
- En déduire une expression de n en fonction de m.
- On appelle Q le milieu du segment \left[AN\right] et q son affixe.
Montrer que : q=\frac{\left(1-i\right)m}{2}+2+i. - Dans cette question, M est un point du cercle \Gamma .
- Justifier l'existence d'un réel \theta tel que : m=\sqrt{10}e^{i\theta }.
- Calculer |q -2 -i|. Quel est le lieu \Gamma ^{\prime} de Q lorsque M décrit le cercle \Gamma ?
Corrigé
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \left(O; \vec{u} ,\vec{v}\right). On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d'affixes respectives :
a=3-i, b=1-3i et c=-1-i.
-
- Voir la figure terminée en bas du corrigé
- Le triangle ABC est rectangle isocèle en B. En effet :
BA=|a-b|=|2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
BC=|c-b|=|-2+2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
AC=|c-a|=|-4|=4
Donc BA=BC et AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}=16 et le triangle ABC est rectangle isocèle en B. -
OA=|a|=\sqrt{10}
OB=|b|=\sqrt{10}
Donc les points A et B appartiennent au cercle \Gamma de centre O, de rayon \sqrt{10}.
- Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée m et N le point d'affixe notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d'angle de mesure \frac{\pi }{2}.
- L'écriture complexe de r est donnée par la formule :
z^{\prime}=e^{i\theta }\left(z-\omega \right)+\omega
ce qui devient ici :
z^{\prime}=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(z-m\right)+m
z^{\prime}=iz+m-mi - Comme N est image de A dans la rotation r :
n=i\left(3-i\right)+m-mi=1+m+3i-mi
- L'écriture complexe de r est donnée par la formule :
- Q est le milieu du segment \left[AN\right] donc :
q=\frac{1}{2}\left(a+n\right)=\frac{1}{2}\left(3-i+1+m+3i-mi\right)=\frac{\left(1-i\right)m}{2}+2+i -
- Si M est un point du cercle \Gamma d'affixe m, le module de m est OM=\sqrt{10} d'après 1. c..
Si on note \theta un argument de m, on a bien : m=\sqrt{10}e^{i\theta }. - |q -2 -i|=\left|\frac{\left(1-i\right)m}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}|m|.
Donc :
|m|=\sqrt{10} \Leftrightarrow |q -2 -i|=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{10}=\sqrt{5}
Donc Q est sur le cercle de \Gamma ^{\prime} de centre \Omega \left(2+i\right) et de rayon \sqrt{5}.
Réciproquement, soit Q un point de \Gamma ^{\prime} ; son affixe vérifie |q-2-i|=\sqrt{5}
Q est l'image (par la construction de l'énoncé) du point M d'affixe m=\frac{2\left(q-2-i\right)}{1-i} (obtenu à partir de la relation q=\left(1-i\right)\frac{m}{2}+2+i) qui est bien sur le cercle \Gamma puisque |q-2-i|=\sqrt{5} \Rightarrow |m|=\sqrt{10}. Donc tout point de \Gamma ^{\prime} est l'image d'un point M de \Gamma .
Le lieu de Q lorsque M décrit le cercle \Gamma est donc le cercle \Gamma ^{\prime} de centre \Omega \left(2+i\right) et de rayon \sqrt{5}.
- Si M est un point du cercle \Gamma d'affixe m, le module de m est OM=\sqrt{10} d'après 1. c..