Exercice 2

5 points - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [- 2; 5], décroissante sur chacun des intervalles [-2;0] et [2; 5] et croissante sur l'intervalle [0;2].

On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur l'intervalle [- 2; 5].

La courbe $\left(\Gamma \right)$ représentative de la fonction $f$ est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A(- 2; 9), B(0; 4), C(1;4,5), D(2;5) et E(4; 0).

En chacun des points B et D. la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note F le point de coordonnées (3;6).

La droite (CF) est la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ au point C.

1. À l'aide des informations précédentes et de l'annexe 1, préciser sans justifier :

   1. les valeurs de $f\left(0\right)$, $f^{\prime}\left(1\right)$ et $f^{\prime}\left(2\right)$.

   2. le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ - 2; 5\right]$.

   3. le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ - 2; 5\right]$.

2. On considère la fonction $g$ définie par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

   1. Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left[ - 2; 4\right[$.

   2. Calculer $g\left( - 2\right), g\left(0\right)$ et $g\left(2\right)$.

   3. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[ - 2; 4\right[$.

   4. Déterminer la limite de la fonction $g$ lorsque $x$ tend vers 4.

      Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction $g$.

   5. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.